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Salve a tutti! Dovrei studiare il carattere della seguente serie al variare del parametro alfa appartenete ad R+.
Avrei pensato di risolvere con mac Laurin sviluppando il seno al secondo termine e semplificando quindi 1/n.
Il problema è che da li in poi non ho idea di come studiare la convergenza della serie riportata di seguito:

\[\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{[\frac{1}{n}-sen(\frac{1}{n})]^{\alpha }}{n^{2\alpha }+1}}\]

Qualcuno può aiutarmi dicendomi se ho scelto la via giusta per la risoluzione e spiegandomi come si studia la convergenza al variare del parametro?
Grazie in anticipo!

Ciao, \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{[\frac{1}{n} - sen(\frac{1}{n})]}^\alpha }}}{{{n^{2\alpha }} + 1}}} \]
analizzando l'asintotica del termine n-esimo e sviluppando con Taylor come hai detto si ha:
\[\frac{{{{[\frac{1}{n} - sen(\frac{1}{n})]}^\alpha }}}{{{n^{2\alpha }} + 1}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{{[\frac{1}{n} - {{(\frac{1}{n} - \frac{1}{6}{{(\frac{1}{n})}^3}]}^\alpha }}}{{{n^{2\alpha }} + 1}} = \]
\[ = \frac{{{{[\frac{1}{6}{{(\frac{1}{n})}^3}]}^\alpha }}}{{{n^{2\alpha }} + 1}} = \frac{{{{(\frac{1}{6})}^\alpha }{{(\frac{1}{n})}^{3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }} + 1}} = {(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }} + 1}} = \]
\[ = \left\{ \begin{array}{l}
\alpha > 0\;\;\; \to \;\;\;{(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }} + 1}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } {(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }}}} = {(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{1}{{{n^{5\alpha }}}}\;\;\;(converge\;se\;5\alpha > 1\;\; \to \;\;\alpha > \frac{1}{5})\\
\alpha < 0\;\;\; \to \;\;\;{(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }} + 1}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } {(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{1}\;\;\; \to \;\;\;(diverge!)\\
\alpha = 0\;\;\; \to \;\;\;{(\frac{1}{6})^0}\frac{{{n^0}}}{{{n^0} + 1}} = 1\;\;\; \to \;\;\;(diverge!)
\end{array} \right.\]
Saluti.


PS: Si noti che non è una serie di funzioni bensì una serie di numeri reali! ... Lo User Admin provvederà a spostare questo post nella categoria più appropriata. Ti prego di fare più attenzione alle categorie dove si apre un topic! ... Grazie!

Innanzitutto mi scuso per aver sbagliato sezione, la prossima volta staró più attento
Per quando riguarda la serie adesso è tutto più chiaro, proverò ad applicare questo metodo ad altri esercizi.
Se magari potesse indicarmi qualche link con serie dove bisogna applicare questo tipo di risoluzione sarebbe perfetto!
Vi ringrazio!