Ciao, se con ${S_n}$ hai indicato la somma parziale n-esima della serie c'è un errore!! ... a me sembra che hai riportato il termine n-esimo della serie ${a_n}$ dopo un raccoglimento del fattore n!! ... A che serve? ... Non bisogna costruirsi prima la successione delle somme parziali ${S_n}$ decomponendo prima la frazione con la tecnica di decomposizione in fratti semplici?
Ecco il procedimento completo con la costruzione della successione delle somme parziali:
\[\sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^2} - 1}}} \]
decomponendo il termine n-esimo della serie con la decomposizione in fratti semplici si ha
\[\frac{1}{{{n^2} - 1}} = \frac{1}{{(n - 1)(n + 1)}} = \frac{a}{{n - 1}} + \frac{b}{{n + 1}}\]
da cui trovando a e b si ottiene
\[\frac{1}{{{n^2} - 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{n - 1}} + \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{n + 1}} = \frac{1}{2}[\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{{n + 1}}]\]
pertanto la serie diventa
\[\sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^2} - 1}}} = \sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {\frac{1}{2}[\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{{n + 1}}]} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {[\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{{n + 1}}]} = \;*\]
studiando ora la serie
\[\sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {[\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{{n + 1}}]} \]
e costruendo la successione delle somme parziali n-ennesime si ottiene:
\[{S_n} = (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \;...\; + (\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{{n + 1}}) = \]
\[ = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}}\]
da cui facendo il limite si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}}] = \frac{3}{2}\]
pertanto la serie iniziale converge e la somma sarà
\[* = \;\frac{1}{2}\sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {[\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{{n + 1}}]} = \frac{1}{2}\frac{3}{2} = \frac{3}{4}\]
Saluti.
Inviato: 16/03/2014, 14:19
