www.easymath.it

salve,non riesco a risolvere questa serie.
\[\sum_{n=1}^{infinito} (-1)^\frac{n^2+n}{2} \frac{n}{2^n}\]

ho provato con Leibniz e mi sembra che converge ma non ne sono troppo sicura quindi vorrei vedere meglio lo svolgimento.Grazie,saluti

Ciao,
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{( - 1)}^{\frac{{{n^2} + n}}{2}}}\frac{n}{{{2^n}}}} \]
in questa serie non c'è bisogno di utilizzare il criterio di Leibniz poichè si può dedurre la convergenza semplice da quella assoluta.

Infatti considerando la serie dei termini in valore assoluto si ha:
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left| {{{( - 1)}^{\frac{{{n^2} + n}}{2}}}\frac{n}{{{2^n}}}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{n}{{{2^n}}}} \]
e applicando a quest'ultima il Criterio del Rapporto
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{n + 1}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\frac{n}{{{2^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{(n + 1)\;{2^n}}}{{{2^{n + 1}}n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{(n + 1)\;{2^n}}}{{{2^n}\;2\;n}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 1}}{{2\;n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\;(1 + \frac{1}{n})}}{{2\;n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{2} = \frac{{1 + 0}}{2} = \frac{1}{2} < 1\;\;\; \to \;\;\;converge!\]
dunque la serie data converge assolutamente e pertanto converge anche semplicemente!

Saltuti.