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salve avrei bisogno del suo aiuto con questo esercizio:

Si studia la convergenza delle serie, e se necessario utilizzare i limiti notevoli:

$\sum_{n=1}^{\infty }cotg\left ( \frac{\pi }{2}-\frac{1}{n^{2}} \right )\cdot cos\left ( n!+5 \right )$

grazie.

Ciao, innanzi tutto questo topic è nella categoria sbagliata! ... questa non è una "Serie di Funzioni" ma una "Serie di Numeri Reali"!!
Ti prego quindi di fare più attenzione alla classificazione dei topic nelle categorie del Forum! ...
Lo User Admin provvederà allo spostamento di questo topic nella categoria appropiata.

Detto questo veniamo allo studio della serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{\mathop{\rm c}\nolimits} tg(\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{{n^2}}})\cos (n! + 5)} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {tg(\frac{1}{{{n^2}}})\cos (n! + 5)} \]
Si tratta di una serie a segno variabile. Studiamo dunque l'assoluta convergenza che, se confermata, implicherà necessariamente la convergenza semplice! ... Studiamo dunque la serie con i valori assoluti:
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left| {tg(\frac{1}{{{n^2}}})\cos (n! + 5)} \right|} \]
maggiorando i termini della serie e applicando il criterio del confronto si ha
\[\left| {tg(\frac{1}{{{n^2}}})\cos (n! + 5)} \right| \le \left| {tg(\frac{1}{{{n^2}}})} \right|\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{1}{{{n^2}}}} \right| = \frac{1}{{{n^2}}}\]
poichè la serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^2}}}} \;\;\;converge!\]
è la serie armonica generalizzata che sappiamo convergere, allora anche la nostra serie converge assolutamente e dunque anche semplicemente!

Saluti.