Ciao, ma non dovrebbe essere cosi? ...
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{(sin(\frac{1}{{{n^{5\alpha }}}}))}^2}}}{{{{( - \alpha )}^n}}}} \]
Studiamo l'assoluta convergenza
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left| {\frac{{{{(sin(\frac{1}{{{n^{5\alpha }}}}))}^2}}}{{{{( - \alpha )}^n}}}} \right|} \]
maggioriamo i termini della serie usando poi il criterio del confronto
\[\left| {\frac{{{{(sin(\frac{1}{{{n^{5\alpha }}}}))}^2}}}{{{{( - \alpha )}^n}}}} \right| \le \left| {\frac{{\frac{1}{{{n^{10\alpha }}}}}}
{{{\alpha ^n}}}} \right| = \left| {\frac{1}{{{\alpha ^n}{n^{10\alpha }}}}} \right|\]
studiamo la convergenza della serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left| {\frac{1}{{{\alpha ^n}{n^{10\alpha }}}}} \right|} \]
usando il criterio del rapporto abbiamo
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{\frac{1}
{{{\alpha ^{n + 1}}{{(n + 1)}^{10\alpha }}}}}}{{\frac{1}{{{\alpha ^n}{n^{10\alpha }}}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }
\left| {\frac{{{\alpha ^n}{n^{10\alpha }}}}{{{\alpha ^{n + 1}}{{(n + 1)}^{10\alpha }}}}} \right| = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{{\alpha ^n}{n^{10\alpha }}}}{{{\alpha ^n}\alpha {{(n + 1)}^{10\alpha }}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{{n^{10\alpha }}}}{{\alpha {{(n + 1)}^{10\alpha }}}}} \right| = \left\{ \begin{array}{l}
\left| {\frac{1}{\alpha }} \right|\;\;\;\alpha > 0\\
0\;\;\;\;\;\alpha < 0\;\;\;(converge!)
\end{array} \right.\]
pertanto la convergenza si ha per
\[\left| {\frac{1}{\alpha }} \right| < 1\;\;\; \to \;\;\;\left| \alpha \right| > 1\;\;\; \to \;\;\;\alpha < - 1\;\; \vee \;\;\alpha > 1\]
e quindi la nostra serie iniziale è assolutamente convergente per gli stessi valori di $\alpha $
Saluti.
