Verifica delle soluzioni di due problemi di Cauchy

[nuccio88]

Buonasera, oggi ho sostenuto l'esame scritto di Analisi 2. Vorrei sapere se la soluzione che ho trovato per il seguente problema di Cauchy è corretta:

$y'=\frac{(y-1)^2}{x-3}$
y(1)=2

Ho trovato la soluzione $y=\frac{1}{1-\log |x-3|+\text{log2}}+1$.


Invece, per il seguente problema di Cauchy (con k parametro reale):

$k^2 y+y''=\cos (\text{kx})$
y(0)=y'(0)=0

purtroppo non ricordo esattamente la soluzione finale che ho trovato. Ho trovato $\text{yo}=\text{c1} \cos (\text{kx})+\text{c2} \sin (\text{kx})$ e $\text{yp}=x(A \cos (\text{kx})+B \sin (\text{kx}))$. Dunque, y(x) = yo(x) + yp(x). Se non ho fatto sbagli nei calcoli la costante A dovrebbe essere nulla, invece B non ricordo (forse -1/k o -1/(2k)). Potrei avere la soluzione completa per favore? Grazie!!!

[maurizio.schirinzi]

Bravissimo ! ... Ecco lo svolgimento completo:

Primo quesito
\[\left\{ \begin{array}{l}
y' = \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{x - 3}}\\
y(1) = 2
\end{array} \right.\]
troviamo l'integrale generale dell'equazione differenziale con il metodo delle variabili separabili
\[y' = \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{x - 3}}\]
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{x - 3}}\]
\[\frac{1}{{{{(y - 1)}^2}}}dy = \frac{1}{{x - 3}}dx\;\;\;(con\;y - 1 \ne 0\;\;\; \to \;\;\;y \ne 1)\]
con y(x)=1 si avrà una soluzione singolare dell'equazione differenziale
\[y(x) = 1\;\; \to \;\;\;y'(x) = 0\;\;\;({\rm{soluzione}}\;{\rm{singolare}})\]
integrando membro a membro
\[\int {\frac{1}{{{{(y - 1)}^2}}}dy} = \int {\frac{1}{{x - 3}}dx} \]
\[ - \frac{1}{{y - 1}} = \ln \left| {x - 3} \right| + c\]
\[ - \frac{1}{{\ln \left| {x - 3} \right| + c}} = y - 1\]
si ricava dunque l'integrale generale
\[y(x) = 1 - \frac{1}{{\ln \left| {x - 3} \right| + c}}\]
da cui sostituendo la condizione di Cauchy y(1)= 2 si ha
\[2 = 1 - \frac{1}{{\ln \left| {1 - 3} \right| + c}}\;\;\; \to \;\;\;1 = - \frac{1}{{\ln (2) + c}}\;\;\; \to \;\;\;\ln (2) + c = - 1\]
e ricavando dunque la costante c si ha
\[c = - 1 - \ln (2)\]
sostituendo la costante nell'integrale generale si ha l'integrale particolare soluzione del problema di Cauchy
\[y(x) = 1 - \frac{1}{{\ln \left| {x - 3} \right| + c}} = 1 - \frac{1}{{\ln \left| {x - 3} \right| - 1 - \ln (2)}} = 1 + \frac{1}{{1 + \ln (2) - \ln \left| {x - 3} \right|}}\]


Secondo quesito
\[y'' + {k^2}y = \cos (kx)\]
calcoliamo l'integrale generale dell'omogenea
\[y'' + {k^2}y = 0\]
scrivendo l'equazione caratteristica si ha
\[{\lambda ^2} + {k^2} = 0\;\;\; \to \;\;\;{\lambda ^2} = - {k^2}\;\;\; \to \;\;\;\lambda = \pm \sqrt { - {k^2}} = \pm ki\]
da cui l'integrale generale dell'omogenea sarà
\[{y_0}(x) = {c_1}\cos (kx) + {c_2}sen(kx)\]
scegliendo un integrale particolare del tipo
\[{y_p}(x) = a\,x\,\cos (kx) + b\,x\,sen(kx)\]
facendo i calcoli (che non riporto perchè un po lunghi) si ha
\[a = 0\;\;\;b = \frac{1}{{2k}}\]
scrivendo dunque l'integrale generale della NON omogenea
\[y(x) = {y_0}(x) + {y_p}(x) = {c_1}\cos (kx) + {c_2}sen(kx) + \frac{1}{{2k}}x\,sen(kx)\]
sarà poi banale imporre le condizioni di Cauchy per trovare le costanti specifiche.


Saluti e complimenti per il tuo esame!