Ciao, ecco lo svolgimento applicando la nota formula relativa alle equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti variabili:
\[y' = \frac{{xy}}{{1 + {x^2}}} + x\]
ricordando le convenzioni della formula
\[\begin{array}{l}
y' + p(x)y = q(x)\\
y(x) = {e^{ - \int {p(x)dx} }}\;[\int x \,{e^{\int {p(x)dx} }}dx + c]
\end{array}\]
e riscrivendo la nostra equazione in forma canonica si ha:
\[y' + \frac{{ - x}}{{1 + {x^2}}}y = x\]
da cui applicando la formula si ha:
\[y(x) = {e^{ - \int {\frac{{ - x}}{{1 + {x^2}}}dx} }}\;[\int x \,{e^{\int {\frac{{ - x}}{{1 + {x^2}}}dx} }}dx + c] = {e^{\int {\frac{x}{{{x^2} + 1}}dx} }}\;[\int x \,{e^{ - \int {\frac{x}{{{x^2} + 1}}dx} }}dx + c] = *\]
sviluppando a parte l'integrale
\[\int {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \;dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\,dx} = \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1)\]
si ha
\[* = {e^{\frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1)}}\;[\int x \,{e^{ - \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1)}}dx + c] = {e^{\ln {{({x^2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}}\;[\int x \,{e^{\ln {{({x^2} + 1)}^{ - \,\frac{1}{2}}}}}dx + c] = \]
\[ = {e^{\ln (\sqrt {{x^2} + 1} )}}\;[\int x \,{e^{\ln (\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }})}}dx + c] = \sqrt {{x^2} + 1} \;[\int x \,\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} \;}}dx + c] = \]
\[ = \sqrt {{x^2} + 1} \;[\int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} \;}}} \,dx + c] = **\]
ponendo \[{x^2} + 1 = t\;\;\; \to \;\;\;2x\,dx = dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \frac{{dt}}{{2x}}\]
sviluppiamo a parte il seguente integrale con il metodo di sostituzione:
\[\int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} \;}}} \,dx = \int {\frac{x}{{\sqrt t \;}}} \,\frac{{dt}}{{2x}} = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\sqrt t \;}}} \,dt = \frac{1}{2}\int {{t^{ - \frac{1}{2}}}} \,dt = \frac{1}{2}\frac{{{t^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} = {t^{\frac{1}{2}}} = \sqrt t = \sqrt {{x^2} + 1} \]
pertanto si ha:
\[** = \sqrt {{x^2} + 1} \;[\sqrt {{x^2} + 1} + c] = ({x^2} + 1) + c\sqrt {{x^2} + 1} \]
conclusione la soluzione dell'integrale generale sarà:
\[y(x) = ({x^2} + 1) + c\sqrt {{x^2} + 1} \]
Saluti.
