Equazione differenziale del secondo ordine

[ascaplboh]

Ciao! Mi sono bloccato nella risoluzione di questa equazione differenziale!

\[y'' + 2y ' + 2y= e^{-t}\times sin(t)\]


Ho trovato l'integrale generale dell'omogenea:
\[y(t)= c1\cdot e^{-t}\cdot cos(t) + c2 e^{-t}\cdot sin(t)\]


Dopo di che, per trovare la soluzione particolare della non omogenea uso il metodo di somiglianza; pertanto cerco una soluzione del tipo:
\[y(t)= e ^{-t}\cdot [A\cdot t\cdot cos(t) + B\cdot t\cdot sin(t)]\]


Faccio la derivata prima e seconda di quest'ultima e la sostituisco nell'equazione differenziale, ottenendo:\[\left [ -2Asin(t) - Atcos(t) + 2Bcos(t) - Bsin(t) + 2Acos(t) - 2Atsin(t) + 2Btcos(t) + Bsin(t) + 2Atcos(t) + 2Btsin(t)=sin(t)\right ]\]


Ora dovrei ricavarmi A e B, ma mi sono perso proprio qui! (Forse questa dovrebbe essere la cosa più semplice ma mi sono perso) Puoi farmi piano-piano i passaggi che mancano per trovare A e B.


P.S. Spero che la soluzione riportata sia corretta fino a questo punto!

[maurizio.schirinzi]

Ciao, riguardo ai calcoli occorre ovviamente raggruppare i termini simili raccogliendo le funzioni goniometriche e poi ricavare le costanti imponendo il principio di identità delle due espressioni.

Nel caso del tuo esercizio non mi sembra che basti la scelta che hai fatto sull'integrale particolare per somiglianza con sole 2 costanti; ne occorre uno più generale con 4 costanti del tipo:
\[\tilde y(t) = {e^{ - t}}[(a + bt)\cos (t) + (c + dt)sen(t)]\]
i conti sono un po troppo lunghi da postare qui, ma accoppiando i termini simili e raccogliendo poi le funzioni goniometriche dello stesso tipo potrai dedurre le 4 equazioni nelle 4 incognite da soddisfare che ti porteranno risolvendo il sistema a trovare le 4 costanti dell'integrale particolare.

Volendo si potrebbe anche procedere disaccoppiando la ricerca dell'integrale particolare in 2 integrali particolari e poi procedere per combinazione lineare:
\[\begin{array}{l}
{{\tilde y}_1}(t) = {e^{ - t}}[(a + bt)\cos (t)]\\
{{\tilde y}_2}(t) = {e^{ - t}}[(c + dt)sen(t)]
\end{array}\]
Saluti.

[ascaplboh]

hai ragione! Il polinomio generico deve essere di primo grado! Scusami..

[ascaplboh]

Scusa se insisto..ma nella soluzione proposta dal mio prof, lui utilizza proprio la soluzione particolare con due soli parametri A e B (cioè quella che ho proposto io all'inizio)...e trova che B=0 e A = -1/2.

[maurizio.schirinzi]

Si, è possibile che funzioni, ovviamente non ho fatto tutti i conti del tuo precedente post, ma se alla fine il sistema di equazioni non porta a delle soluzioni occorre aumentare i parametri.

Nel mio post precedente ti ho dato una formulazione più generale perchè avevo capito che alla fine non riuscivi a trovare le costanti usandone solo 2. Comunque usando una formulazione più generale come quella da me proposta non comprometti i risultati, infatti se le costanti sufficienti sono effettivamente 2 come dici allora le altre in più verranno "azzerate" automaticamente.

Appena ho un attimo più di tempo proverò a fare tutti i conti con la soluzione da te proposta e ti farò sapere se viene come dice il tuo prof.

A presto.