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Ciao! Mi sono bloccato nella risoluzione di questo problema di Cauchy:

\[\begin{Bmatrix} yy'' + (y')^{2} =1 & \\ y(0)=1 , y'(0)=1 & \end{Bmatrix}\]

Pongo:
\[z(y) = y' y''=z'(y) * z(y)\]


Allora diventa:

\[\begin{Bmatrix} yz(y)*z'(y) + z^{2}(y)=1 & \\ z(1)=1 & \end{Bmatrix}\]


Diviso per "yx" e la considero come un'equazione di Bernoulli con \[\alpha = -1\], ponendo:
\[w(y) = z^{2} , w'(y) = 2z*z'\] si ottiene:


\[w'(y) + \frac{2w(y)}{y(x)} = \frac{2}{y(x)}\]


La risolvo applicando la fomula risolutiva delle equazioni lineari del primo ordine e ottengo:



\[w(y) = \frac{c}{y^{2}} + \frac{1}{2}\]



Ora come continuo? Mi sono perso

Ciao, ma non bisogna arrivare prima a scrivere l'integrale generale rispetto a y(x) con le due costanti e poi imporre le condizioni al contorno di Cauchy sulla y(x) per trovare le costanti e dunque l'integrale particolare risolvente il problema di Cauchy?

Potresti scrivermi qualche cenno di risoluzione?

Intendevo dire che, con il tuo procedimento, una volta trovata la w(y) dovresti risalire alla z(y) (essendo w=z^2 dalle posizioni che hai fatto) per poi applicare le condizioni di Cauchy che hai riscritto in modo equivalente rispetto a z, cioè z(1)=1 ... per il resto il tuo procedimento mi sembra valido.

A dire la verità l'unico passaggio che non mi sembra chiaro è questo:
\[{\rm{z(y) = y' y'' = z'(y) * z(y)}}\]
potresti precisarlo un po meglio? ...

Ho posto

\[z(y) =y'\]

Dopo ho fatto la derivata seconda:

y'' = z'(y) * z(y)

Giusto per chiudere questo post , aggiungo che:

non è necessario separare le variabili all'inizio perchè l'espressione a destra 1-z^{2} vale zero nel punto iniziale. Quindi z(y) =1 è la soluzione stazionaria del P.d.C.

Quindi la soluzione è :
y(x)= x+1

Ottimo!... complimenti!! ...