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\[Y'= \frac{y}{x} + \varphi (x)/\varphi' (x)\]

io ho pensato di risolverla come una omogenea di grado zero ponendo u=y/x quindi:
\[u'x= \varphi (u)/\varphi' (u)\]
infine separando le variabili e integrando ottengo
\[\log( \varphi (y/x) )= \log (xc)\]

vorrei sapere se il mio procedimento è esatto.grazie mille.saluti

Ciao, non mi sembra chiaro il tuo passaggio seguente:
\[\frac{{\varphi (x)}}{{\varphi '(x)}}\;\;\; \to \;\;\;\frac{{\varphi (u)}}{{\varphi '(u)}}\]
potresti precisarlo un pò meglio?

Formalmente supponendo di conoscere l'epressione della ${\varphi (x)}$ i passi dovrebbero essere i seguenti:
\[y' = \frac{y}{x} + \frac{{\varphi (x)}}{{\varphi '(x)}}\;\;\;(*)\]
ponendo
\[u = \frac{y}{x}\;\;\; \to \;\;\;y = u\,x\;\;\; \to \;\;\;y' = u'x + u\]
e sostituendo nella (*)
\[u'x + u = u + \frac{{\varphi (x)}}{{\varphi '(x)}}\]
da cui
\[u'x = \frac{{\varphi (x)}}{{\varphi '(x)}}\]
\[u' = \frac{1}{x}\frac{{\varphi (x)}}{{\varphi '(x)}}\]
\[u = \int {\frac{1}{x}\frac{{\varphi (x)}}{{\varphi '(x)}}dx} \]
da cui si dovrebbe procedere con una normale integrazione nel caso ovviamente si conosca l'espressione matematica della $\frac{{\varphi (x)}}{{\varphi '(x)}}$

...

mi scusi avevo sbagliato io a scriverle il testo dell'esercizio.
L'equazione era
\[y'=\frac{y}{x}+\frac{\varphi (\frac{y}{x})}{\varphi '(\frac{y}{x})}\]
e quindi io ho posto u=y/x y=ux y'=u'x+u e mi sono ritrovata con \[u'x=\frac{\varphi (u)}{\varphi '(u)}\] poi ho separato le variabili e integrato
\[\int \frac{\varphi (u)}{\varphi '(u)}du=\int \frac{dx}{x}\]
ottenendo\[\log \varphi (u)=log(xc)\]

Ok! ... ora è tutto chiaro! ...