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Salve non riesco a risolvere questa equazione, non riesco a scomporla.
\[y^8 +2y^6-2y^2-y=0\]
ho visto che il polinomio caratteristico associato è divisibile per 1 e riesco a scriverlo come
\[(k-1)(k^7+k^6+3k^5+3k^4+3k^3+3k^2+1)\]
poi non riesco più a scomporlo e quindi non so risolverla.

Ciao, innanzitutto è doverosa una piccola precisazione formale-simbolica: immagino che dovrebbe essere una equazione differenziale di ordine 8 ... cioè i gradi che hai indicato sulla y sono ordini di derivazione!!? ... come l'hai scritta tu, dal punto di vista simbolico, non sembra essere neanche un' equazione differenziale!

Io di solito la scrivo cosi, per precisare che i numeri ad esponente sono ordini di derivazione e non potenze:
\[{y^{(8)}} + 2{y^{(6)}} - 2{y^{(2)}} - y = 0\]

il polinomio caratteristico dell'omogenea sarà dunque
\[{\lambda ^8} + 2{\lambda ^6} - 2{\lambda ^2} - 1 = 0\]
che è un polinomio reciproco di ottavo grado 2° specie incompleto, ma per fortuna ponendo
\[{\lambda ^2} = t\]
si riesce ad abbassarlo temporaneamente di grado ad un polinomio ancora reciproco di quarto grado 2° specie incompleto, che con le solite tecniche dei raccoglimenti parziali (o con Ruffini) si riesce a scomporlo nel seguente modo
\[{t^4} + 2{t^3} - 2t - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;{t^4} - 1 + 2{t^3} - 2t = 0\]
\[({t^2} - 1)({t^2} + 1) + 2t({t^2} - 1) = 0\;\;\; \to \;\;\;({t^2} - 1)[({t^2} + 1) + 2t] = 0\]
\[(t - 1)(t + 1)[{t^2} + 2t + 1] = 0\;\;\; \to \;\;\;(t - 1)(t + 1){(t + 1)^2} = 0\]
da cui ritornando in $\lambda $ si ha
\[({\lambda ^2} - 1)({\lambda ^2} + 1){({\lambda ^2} + 1)^2} = 0\;\;\; \to \;\;\;({\lambda ^2} - 1){({\lambda ^2} + 1)^3} = 0\]
a questo punto non ti dovrebbe essere difficile trovare tutti i relativi valori di $\lambda $ reali semplici e complessi coniugati molteplici!

Saluti.

Si ha ragione sulla precisazione ma non sapevo come scrivere diversamente.
ultimo dubbio,le soluzioni sono k=+ - 1 e poi k = + - i con molteplicità tre.
l'integrale generale lo scrivo cosi?
\[y=c_1e^x+c_2e^x+c_3sinx+c_4cosx+ c_5xsinx+c_6xcosx+c_7 x^2sinx+c_8x^2cosx\]
grazie mille

Si !! ... E' corretto!