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Ciao, nei problemi di Cauchy quasi sempre mi viene richiesto di precisare il più ampio intervallo in cui la soluzione è definita. Questo significa di esplicitare il dominio della y(x) ?
Ad esempio se trovo:

y = $\log \left(e^{-\frac{x^3}{3}}+2\right)$

allora dovrò imporre che l'argomento del logaritmo sia positivo, e trovare per quali x lo è? Oppure la richiesta che mi viene fatta è un'altra? è l'espressione "il più ampio intervallo" che mi fa venire dei dubbi.
Grazie per l'attenzione.

Si !! ... L'intervallo massimale di esistenza della soluzione del problema di Cauchy è semplicemente il più grande intervallo su cui è definita la soluzione del problema di Cauchy, se essa esiste ed è unica.

Se hai a che fare con un problema di Cauchy di cui esiste una e una sola soluzione e puoi calcolarla esplicitamente, dopo averla calcolala ne determini il dominio. Tale dominio è l'intervallo massimale su cui può essere definita la soluzione.

In generale, l'intervallo massimale è definito da due condizioni: è il più grande intervallo aperto sul quale è definita la soluzione e tale da contenere il punto iniziale del problema di Cauchy.

Saluti.