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salve,
ho questa equazione \[(xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0\]
mi sembra una ai differenziali totali cosi ho verificato se \[\frac{\partial M }{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\] e ponendo \[M =xy^2+x\]\[N =y-x^2y\]
le derivate parziali sono \[\frac{\partial N}{\partial x}= -2xy\]\[\frac{\partial M}{\partial y}= 2xy\] sono quindi diverse.
La mia domanda è senza che ricorro al fattore integrante basta che riscrivo la \[N=-y+x^2y\] per ottenere le derivate parziali uguali,posso fare cosi? o è un errore?

Ciao, si tratta di Equazioni differenziali riconducibili ad esatte !! ... cioè una variante delle equazioni differenziali esatte per cui non vale l'uguaglianza delle derivate miste!

In questi casi ci sono 2 metodi risolutivi:
1) Quello del fattore integrale
2) Quello di rendere opportunamente uguali le derivate miste (proprio quello che hai utilizzato!)

Ecco un ottima spiegazione della questione su Wikipedia con relativi esempi molto chiari:

Equazioni differenziali riconducibili ad esatte

NB: Il metodo da te utilizzato e quello descritto in wikipedia come "Secondo caso"

Saluti.