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Vi propongo il seguente problema di Cauchy (con k parametro reale):

$k^2 y+y''=\cos (\text{kx})$
y(0)=y'(0)=0

purtroppo non ricordo esattamente la soluzione finale che ho trovato. Ho trovato $\text{yo}=\text{c1} \cos (\text{kx})+\text{c2} \sin (\text{kx})$ e $\text{yp}=x(A \cos (\text{kx})+B \sin (\text{kx}))$. Dunque, y(x) = yo(x) + yp(x). Se non ho fatto sbagli nei calcoli la costante A dovrebbe essere nulla, invece B non ricordo (forse -1/k o -1/(2k)). Potrei avere la soluzione completa per favore? Grazie!!!

Ciao
\[y'' + {k^2}y = \cos (kx)\]
calcoliamo l'integrale generale dell'omogenea
\[y'' + {k^2}y = 0\]
scrivendo l'equazione caratteristica si ha
\[{\lambda ^2} + {k^2} = 0\;\;\; \to \;\;\;{\lambda ^2} = - {k^2}\;\;\; \to \;\;\;\lambda = \pm \sqrt { - {k^2}} = \pm ki\]
da cui l'integrale generale dell'omogenea sarà
\[{y_0}(x) = {c_1}\cos (kx) + {c_2}sen(kx)\]
scegliendo un integrale particolare del tipo
\[{y_p}(x) = a\,x\,\cos (kx) + b\,x\,sen(kx)\]
facendo i calcoli (che non riporto perchè un po lunghi) si ha
\[a = 0\;\;\;b = \frac{1}{{2k}}\]
scrivendo dunque l'integrale generale della NON omogenea
\[y(x) = {y_0}(x) + {y_p}(x) = {c_1}\cos (kx) + {c_2}sen(kx) + \frac{1}{{2k}}x\,sen(kx)\]
sarà poi banale imporre le condizioni di Cauchy per trovare le costanti specifiche.

Saluti e complimenti per il tuo esame!

NB: Grazie per aver ri-postato il secondo quesito del tuo esame in un altro topic indipendente. Comunque ti avevo già risposto anche a questo quesito nel tuo primo topic. Se devi scrivere ancora qualcosa rispondi nell'altro topic iniziale. Grazie.