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salve avrei bisogno del suo aiuto con questo esercizio..


Si risolva l'equazione nel campo dei numeri complessi:


\[z^{6}-2z^{4}+\left ( i+1 \right )\cdot \left ( z^{2}-2 \right )= 0\]


grazie.

Ciao, prima di tutto sei sicuro che l'equazione è scritta bene? ...

Cioè è scritta cosi:
\[{z^6} - 2{z^4} + (i + 1)\,({z^2} - 2) = 0\]
oppure in realtà è scritta cosi:
\[({z^6} - 2{z^4} + (i + 1))\,({z^2} - 2) = 0\]

l'equazione giusta è:

\[{z^6} - 2{z^4} + (i + 1)\,({z^2} - 2) = 0\]

grazie.

Ok. Allora si ha: \[{z^6} - 2{z^4} + (i + 1)\,({z^2} - 2) = 0\]
Raccogliendo parzialmente e poi totalmente si riesce a fattorizzare l'espressione a primo membro
\[{z^4}({z^2} - 2) + (i + 1)\,({z^2} - 2) = 0\]
\[({z^2} - 2)({z^4} + i + 1) = 0\]
da cui applicando la solita legge di annullamento del prodotto si disaccoppia l'equazione in 2 equazioni complesse di cui la prima è immediata e fornisce le prime 2 soluzioni
\[{z^2} - 2 = 0\;\;\; \to \;\;\;{z^2} = 2\;\;\; \to \;\;\;z = \pm \sqrt 2 \]
per la seconda equazione si procede cosi
\[{z^4} + i + 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;{z^4} = - i - 1\;\;\; \to \;\;\;z = {\sqrt[4]{{ - 1 - i}}^|}\]
occorre dunque estrarre le radici complesse con la nota formula ponendo
\[w = - 1 - i\]
da cui
\[\rho = \left| w \right| = \left| { - 1 - i} \right| = \sqrt 2 \]
\[\theta = Arg(w) = \frac{5}{4}\pi \]
dunque
\[{z_k} = \sqrt[n]{\rho }\;[\cos (\frac{{\theta + k2\pi }}{n}) + i\;sen(\frac{{\theta + k2\pi }}{n})] = \]
\[ = \sqrt[4]{{\sqrt 2 }}\;[\cos (\frac{{\frac{5}{4}\pi + k2\pi }}{4}) + i\;sen(\frac{{\frac{5}{4}\pi + k2\pi }}{4})] = \]
\[ = \sqrt[8]{2}\;[\cos (\frac{5}{{16}}\pi + k\frac{\pi }{2}) + i\;sen(\frac{5}{{16}}\pi + k\frac{\pi }{2})]\]
e allo scandire del k per \[k = 0,1,2,3\] otterrai le altre 4 soluzioni specifice.

Saluti.