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salve avrei bisogno del suo aiuto con questo esercizio:


Si risolva la seguente equazione nel campo dei numeri complessi e se ne rappresentino le soluzioni sul piano di Gauss:


\[\left ( z^{5}-\frac{2-2i}{\sqrt{3}-i} \right )\cdot \left (Im(z^{2}) -1 \right )=0\]


grazie

Ciao,
\[({z^5} - \frac{{2 - 2i}}{{\sqrt 3 - i}})\,({\mathop{\rm Im}\nolimits} ({z^2}) - 1) = 0\]
disaccoppiando l'equazione con la legge di annullamento del prodotto abbiamo le 2 equazioni
\[\begin{array}{l}
{z^5} - \frac{{2 - 2i}}{{\sqrt 3 - i}} = 0\\
{\mathop{\rm Im}\nolimits} ({z^2}) - 1 = 0
\end{array}\]
Per la prima equazione abbiamo
\[{z^5} - \frac{{2 - 2i}}{{\sqrt 3 - i}} = 0\;\;\; \to \;\;\;{z^5} = \frac{{2 - 2i}}{{\sqrt 3 - i}}\]
riformuliamo l'espressione a secondo membro in forma canonica di numero complesso
\[\frac{{2 - 2i}}{{\sqrt 3 - i}} = \frac{{(2 - 2i)(\sqrt 3 + i)}}{{(\sqrt 3 - i)(\sqrt 3 + i)}} = \frac{{(2 - 2i)(\sqrt 3 + i)}}{{3 + 1}} = \]
\[ = \frac{{2\sqrt 3 + 2i - 2\sqrt 3 \,i + 2}}{4} = \frac{{\sqrt 3 + i - \sqrt 3 \,i + 1}}{2} = \]
\[ = \frac{{(\sqrt 3 + 1) + (1 - \sqrt 3 )\,i}}{2} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}i\]
quindi abbiamo
\[{z^5} = \frac{{2 - 2i}}{{\sqrt 3 - i}}\;\;\; \to \;\;\;{z^5} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}i\]
da cui
\[z = \sqrt[5]{{\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}i}}\]
posto
\[w = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}i\]
si ha
\[\rho = \left| w \right| = \sqrt {{{(\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2})}^2} + {{(\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2})}^2}} = \sqrt {{{(\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2})}^2} + {{(\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2})}^2}} = \]
\[ = \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 3 + 1}}{4} + \frac{{1 - 2\sqrt 3 + 3}}{4}} = \sqrt {\frac{8}{4}} = \frac{{\sqrt {{2^3}} }}{2} = \frac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \]
\[\vartheta = Arg(w) = arctg(\frac{{\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}}}) = arctg(\frac{{1 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 1}}) = \]
\[ = arctg(\frac{{(1 - \sqrt 3 )(1 - \sqrt 3 )}}{{(1 + \sqrt 3 )(1 - \sqrt 3 )}}) = arctg(\frac{{{{(1 - \sqrt 3 )}^2}}}{{1 - 3}}) = \]
\[ = arctg(\frac{{1 - 2\sqrt 3 + 3}}{{ - 2}}) = arctg(\frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{{ - 2}}) = \]
\[ = arctg( - (2 - \sqrt 3 )) = - arctg(2 - \sqrt 3 ) = - \frac{\pi }{{12}}\]
Con la nota formula per l'estrazione delle radici complesse si ha
\[{z_k} = \sqrt[n]{\rho }\;[\cos (\frac{{\vartheta + k2\pi }}{n}) + i\,sen(\frac{{\vartheta + k2\pi }}{n})] = \sqrt[n]{\rho }\;{e^{\frac{{\vartheta + k2\pi }}{n}}}\]
dove nel nostro caso
\[n = 5\;\;\;k = 0,1,2,3,4\]
quindi abbiamo
\[{z_k} = \sqrt[5]{{\sqrt 2 }}\;[\cos (\frac{{ - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }}{5}) + i\,sen(\frac{{ - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }}{5})] = \]
\[ = \sqrt[{10}]{2}\;[\cos ( - \frac{\pi }{{60}} + k\frac{2}{5}\pi ) + i\,sen( - \frac{\pi }{{60}} + k\frac{2}{5}\pi )] = \sqrt[{10}]{2}\;{e^{ - \frac{\pi }{{60}} + k\frac{2}{5}\pi }}\;\;\;con\;\;\;k = 0,1,2,3,4\]
Riguardo alla seconda equazione
\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} ({z^2}) - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;{\mathop{\rm Im}\nolimits} ({z^2}) = 1\]
posto
\[z = x + iy\]
si ha
\[{z^2} = {(x + iy)^2} = ({x^2} + {y^2}) + 2xyi\]
quindi
\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} ({z^2}) = 2xy\;\;\; \to \;\;\;2xy = 1\;\;\; \to \;\;\;y = \frac{1}{{2x}}\;\;\;\forall x \ne 0\]
si avranno pertanto infinite soluzioni rappresentabili nel piano di gauss come iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

Saluti.