Ciao,
\[(\bar z - {z^2} - z)({z^4} + 1 + i) = 0\]
disaccoppiando l'equazione con la legge di annullamento del prodotto risolviamo le 2 equazioni che ne derivano:
Per la prima equazione sarà
\[\bar z - {z^2} - z = 0\]
ponendo
\[z = x + iy\]
abbiamo
\[x - iy - {(x + iy)^2} - x - iy = 0\]
\[x - iy - ({x^2} + 2xyi - {y^2}) - x - iy = 0\]
\[x - iy - {x^2} - 2xyi + {y^2} - x - iy = 0\]
\[({y^2} - {x^2}) + ( - 2xy - 2y)\,i = 0\]
da cui imponendo l'azzeramento della parte reale e della parte immaginaria si ha
\[\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} - {x^2} = 0\\
- 2xy - 2y = 0\;\;\; \to \;\;\;xy + y = 0\;\;\; \to \;\;\;y\,(x + 1) = 0\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
y = 0\\
x = - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} - {x^2} = 0\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
per\;x = - 1\;\;\; \to \;\;\;{y^2} - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;y = \pm 1\\
per\;y = 0\;\;\; \to \;\;\; - {x^2} = 0\;\;\; \to \;\;\;x = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 0\\
x = - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
pertanto le soluzioni della prima equazione saranno
\[\left[ \begin{array}{l}
{z_0} = 0\\
{z_1} = - 1 + i\\
{z_2} = - 1 - i
\end{array} \right.\]
Per la seconda equazione si ha
\[{z^4} + 1 + i = 0\;\;\; \to \;\;\;{z^4} = - 1 - i\;\;\; \to \,\;\;z = {\sqrt[4]{{ - 1 - i}}^|}\]
ponendo
\[w = - 1 - i\]
calcoliamo modulo e argomento principale di w
\[\begin{array}{l}
\rho = \left| w \right| = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 \\
\vartheta = Arg(w) = \pi + arctg(\frac{{ - 1}}{{ - 1}}) = \pi + arctg(1) = \pi + \frac{\pi }{4} = \frac{5}{4}\pi
\end{array}\]
da cui applicando la solita formula per l'estrazione della radice complessa
\[{z_k} = \sqrt[n]{\rho }\,[\cos (\frac{{\vartheta + k2\pi }}{n}) + i\,sen(\frac{{\vartheta + k2\pi }}{n})]\]
dove nel nostro caso sarà
\[\begin{array}{l}
n = 4\\
k = 0,1,2,3
\end{array}\]
abbiamo
\[{z_k} = \sqrt[4]{{\sqrt 2 }}\,[\cos (\frac{{\frac{5}{4}\pi + k2\pi }}{4}) + i\,sen(\frac{{\frac{5}{4}\pi + k2\pi }}{4})] = \]
\[ = \sqrt[4]{{\sqrt 2 }}\,[\cos (\frac{5}{{16}}\pi + k\frac{\pi }{2}) + i\,sen(\frac{5}{{16}}\pi + k\frac{\pi }{2})] = \sqrt[8]{2}\,{e^{i\,(\frac{5}{{16}}\pi + k\frac{\pi }{2})}}\]
e allo scorrere di k = 0,1,2,3 si avranno tutte le soluzioni dell'equazione da rappresentare banalmente nel piano di Gauss insieme a quelle della prima equazione.
Saluti.
