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Ciao! IL mio prof in molti esercizi come questo che riporto sotto, afferma che le soluzioni appartengono all'asse di un segmento. Sinceramente non ho capito come fa!

\[z^{3}-i(z-2)^{3}=0\]

Ciao, guardando solo l'equazione e affermare su due piedi quanto dice il tuo prof con i suoi "ragionamenti astratti" spiazza anche me!! ...
Il mio consiglio per gli studenti è sempre quello di ignorare queste "elucubrazioni contorte" dei prof universitari e seguire prima i soliti procedimenti "meccanici" completi e poi semmai alla fine cercare di interpretare graficamente le soluzioni trovate nel piano complesso che potrebbero essere quelle che dice lui!!

Ecco di seguito la traccia dello svolgimento che consiste nell'interpretare il primo membro dell'equazione come somma di cubi e applicare le note scomposizioni notevoli dell'algebra di base per arrivare a disaccoppiare l'equazione nel prodotto di due equazioni una di primo grado e l'altra di secondo rispetto a z:
\[\begin{array}{l}
{z^3} - i{(z - 2)^3} = 0\;\; \to \;\;{z^3} + {(i)^3}{(z - 2)^3} = 0\;\; \to \;\;{z^3} + {[i(z - 2)]^3} = 0\;\; \to \;\;{z^3} + {[iz - 2i]^3} = 0\;\; \to \\
[z + (iz - 2i)]\;[{(z)^2} - (z)(iz - 2i) + {(iz - 2i)^2}] = 0\;\; \to \;\;[z + iz - 2i]\;[{z^2} - i{z^2} + 2iz + ( - {z^2} + 4z - 4)] = 0\;\; \to \\
[(1 + i)z - 2i]\;[{z^2} - i{z^2} + 2iz - {z^2} + 4z - 4] = 0\;\; \to \;\;[(1 + i)z - 2i]\;[ - i{z^2} + (2i + 4)z - 4] = 0
\end{array}\]
disaccoppiando le due equazioni risultanti alla fine dovresti trovare le seguenti soluzioni
\[z = 1 + i\;\;\;\;\;\;z = 1 - i(2 - \sqrt 3 )\;\;\;\;\;z = 1 - i(2 + \sqrt 3 )\]
e quindi potresti disegnarle nel piano complesso per dare un'occhiata a quello che si vede.... dovrebbero essere allineate su un asse!!

Saluti.

Giusto per renderti l'idea, ti riporto " pari pari la sua soluzione"

Osserviamo che \[z^{3}=i(z-2)^{3}\] , pertanto, passando ai moduli, si ha \[\left | z \right |^{3}=\left |i(z-2)^{3} \right |\]. Dunque le soluzioni appartengono all'asse del segmento di estremi 0 e 2, pertanto la parte reale di z vale 1. Dunque cerchiamo le soluzioni del tipo z=1+ib. Sostituiamo nell'equazione, sviluppando i cubi e fattorizzando si ottiene:
\[{(1 + ib)^3} - i{( - 1 + ib)^3} = (1 + i) + (3 + 3i)b - (3 + 3i){b^2} - (1 + i){b^3} = \]
\[ = - (1 + i)({b^3} + 3{b^2} - 3b - 1) = - (1 + i)(b - 1)({b^2} + 4b + 1) = 0\]
dunque:
\[b=1
e
b=-2\pm \sqrt{3}i\]
Le tre radici sono:
\[1+i;1-(-2\pm \sqrt{3}i)\]

Ciao, il metodo didattico del tuo prof universitario (come d'altra parte quello di moltissimi altri) è a dir poco sconvolgente!!
Come al solito i prof universitari credono che l'insegnamento della matematica sia presentare al pubblico le loro "bravissime" elucubrazioni mentali di matematica astratta fregandosene se dall'altra parte ci sono studenti alle prime esperienze con la materia e che non sono in grado di fare quelle estrapolazioni mentali astratte che può fare solo un matematico puro professionista!! ...

Questa è la scuola italiana purtroppo!!

Il progetto EasyMath ITALIA nasce proprio con l'intento di fornire quella didattica di elevata qualità che manca in molte scuole e università italiane, come d'altra parte ampiamente testimoniato nei commenti di molti nostri utenti.

A presto.