Passaggio da cartesiano a complesso

[mastergrafic]

complimenti per l'ottimo sito, da cui ho tratto molto beneficio.
Mi permetta di rivolgerle una domanda:
in merito ai numeri complessi ci è stato spiegato che

x² + (y-2)² < 1 <=> | Z - 2i | < 1

e

(x-2)² + y² < 1 <=> | Z - 2 | < 1

La domanda è : perchè ?

Non capisco il passaggio

La ringrazio per la cortese attenzione Cordiali saluti Paolo

[maurizio.schirinzi]

Ciao, le relazioni da te postate si dimostrano banalmente sostituendo al numero complesso z la sua formulazione algebrica z=x+iy !!

Per la prima relazione \[\left| {z - 2i} \right| < 1 \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 2)^2} < 1\] si ha:
\[\left| {z - 2i} \right| < 1\]
sostituendo \[z = x + iy\]
\[\left| {x + iy - 2i} \right| < 1\]
\[\left| {x + i(y - 2)} \right| < 1\]
e calcolando poi il modulo del numero complesso a primo membro si ottiene
\[\sqrt {{x^2} + {{(y - 2)}^2}} < 1\]
da cui elevando ambo i membri al quadrato si ha
\[{x^2} + {(y - 2)^2} < 1\]

Per la seconda relazione \[\left| {z - 2} \right| < 1 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {y^2} < 1\] con lo stesso procedimento si ha:
\[z = x + iy\]
\[\left| {z - 2} \right| < 1\]
\[\left| {x + iy - 2} \right| < 1\]
\[\left| {(x - 2) + iy} \right| < 1\]
\[\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {y^2}} < 1\]
\[{(x - 2)^2} + {y^2} < 1\]

Saluti.