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Ciao, se mi trovo davanti a un integrale e voglio verificare che la funzione sia olomorfa per poter applicare poi il teorema dei residui, devo necessariamente controllare le condizioni di Cauchy Riemann oppure c'è un altro modo più veloce?

Si !! ... dovresti controllare le condizioni di Cauchy-Riemann o equivalentemente la derivata complessa rispetto al coniugato (su Wikipedia qualcuno la chiama Derivata di Wirtinger):

Funzione Olomorfa e Condizioni di Cauchy-Riemann

Comunque, poichè di solito negli esercizi si ha sempre a che fare ovviamente con funzioni olomorfe, se non è richiesta esplicitamente la verifica delle condizioni di Cauchy-Riemann, puoi procedere direttamente con il calcolo dei residui.

Ti consiglio inoltre un'utile lettura delle prime pagine della seguente dispensa dove vengono dettagliatamente spiegate e dimostrate le condizioni di Cauchy-Riemann e anche l'equivalente condizione suddetta:

Funzioni Olomorfe e Teorema di Cauchy


Saluti.

Ciao, potresti elencarmi le funzioni elementari olomorfe? Basta conoscere queste ultime per poter affermare, dinanzi ad una funzione, che essa è olomorfa, essendo combinazione di funzioni elementari olomorfe?

Le funzioni olomorfe elementari (o analitiche) in campo complesso sono le solite equivalenti di quelle elementari in campo reale con le opportune considerazioni e restrizioni viste nella teoria e riassunte al seguente link Wikipedia:

Analisi Complessa - Funzioni Elementari

In generale la somma e il prodotto di due funzioni olomorfe (o analitiche) sono ancora funzioni olomorfe, mentre il rapporto è olomorfo dove non si annulla il denominatore; inoltre la composizione di due funzioni olomorfe è ancora olomorfa nell'aperto in cui è definita.


Saluti.