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Salve, ho trovato gli estremi della seguente funzione soggetta a vincolo, servendomi del metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Sto scrivendo principalmente per sapere due cose riguardo il seguente esercizio:
1. E' corretto?
2. Ci sono metodi più semplici per risolverlo? Qualcuno mi ha fatto notare che la funzione rappresenta una circonferenza... e quindi? Come mi aiuta questa informazione? Potrei evitare dei passaggi?

Procedo con la stesura. Ecco la funzione $f(x,y)$ e il vincolo $g(x,y)$:
\[f(x,y)=x^2+y^2\]
\[g(x,y)=x^2+2x+y^2+2y=7\]
Scrivo la funzione lagrangiana annessa:
\[L(x,y,\lambda )= f(x,y)+\lambda g(x,y)= x^2+y^2+\lambda (x^2+2x+y^2+2y-7)\]
E calcolo il gradiente:
\[\left\{\begin{matrix}
L_x=2x+2\lambda x+2\lambda = 0\\
L_y=2y+2\lambda y+2\lambda = 0\\
L_\lambda =x^2+2x+y^2+2y-7=0
\end{matrix}\right.
\left\{\begin{matrix}
x+\lambda x+\lambda = 0\\
y+\lambda y+\lambda = 0\\
x^2+2x+y^2+2y-7=0
\end{matrix}\right.
\left\{\begin{matrix}
x=-\frac{\lambda }{1+\lambda }\\
y=-\frac{\lambda }{1+\lambda }\\
2x^2+4x-7=0
\end{matrix}\right.\]
In pratica ho notato che x e y sono uguali, quindi ho scritto la terza equazione in funzione della sola $x$. Le radici di di $x$ nella terza equazione sono: $x_1=-1-\frac{3}{\sqrt{2}}$ e $x_2=-1+\frac{3}{\sqrt{2}}$. Quindi la risoluzione del sistema si divide in due (uno per ogni valore della x).
Per $x=-1-\frac{3}{\sqrt{2}}$:
\[\left\{\begin{matrix}
x = -1-\frac{3}{\sqrt{2}}\\
y = -1-\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\lambda=-\frac{\sqrt{2}}{3}-1
\end{matrix}\right.\]
Per $x=-1+\frac{3}{\sqrt{2}}$:
\[\left\{\begin{matrix}
x = -1+\frac{3}{\sqrt{2}}\\
y = -1+\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\lambda=\frac{\sqrt{2}}{3}-1
\end{matrix}\right.\]
In pratica, in entrambi i sistemi, il valore di $\lambda $ è dato dall'espressione $-\frac{x}{1+x}$.

Dalla risoluzione del precedente sistema ho quindi ottenuto due punti stazionari della lagrangiana:
\[P_0=(-\frac{3}{\sqrt{2}}-1, -\frac{3}{\sqrt{2}}-1, -\frac{\sqrt{2}}{3}-1)\]
\[P_1=(\frac{3}{\sqrt{2}}-1, \frac{3}{\sqrt{2}}-1, \frac{\sqrt{2}}{3}-1)\]

A questo punto calcolo le espressioni delle derivate seconde parziali della lagrangiana, e le derivate parziali prime della funzione vincolo. Mi serviranno nella matrice Hessiana orlata.

Espressioni delle varie derivate parziali:
\[g_x=2x+2\\
g_y=2y+2\\
L_{xx}=2\lambda +2\\
L_{yy}=2\lambda +2\\
L_{xy}=L_{yx}=0\]

Scrivo i valori per i due punti direttamente nelle matrici hessiane orlate:
\[\left | H_0 \right |=\begin{vmatrix}
0 & -\frac{6}{\sqrt{2}} & -\frac{6}{\sqrt{2}}\\
-\frac{6}{\sqrt{2}} & -\frac{2\sqrt{2}}{3} & 0\\
-\frac{6}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{vmatrix}=24\sqrt{2}\]
\[\left | H_1 \right |=\begin{vmatrix}
0 & \frac{6}{\sqrt{2}} & \frac{6}{\sqrt{2}}\\
\frac{6}{\sqrt{2}} & \frac{2\sqrt{2}}{3} & 0\\
\frac{6}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{vmatrix}=-24\sqrt{2}\]
Da questi risultati si evince che il punto $P_0$ è un punto di massimo relativo, mentre il punto $P_1$ è un punto di massimo relativo.

Grazie!

Si!! ... il procedimento è corretto!!
La funzione non è una circonferenza! ... siamo nello spazio! ... sono circonferenze solo le curve di livello nel piano del dominio (x,y) che in questo caso non ci servono a molto dato che studiamo i max e min relativi con la Lagrangiana!
Il metodo da te utilizzato è lo "standard di fatto" per risolvere simili problemi!

In allegato la rappresentazione in 3D della funzione in tutto il suo dominio naturale R^2 (senza vincolo) che risulta un paraboloide nello spazio.

Grazie ancora per il tuo prezioso contributo ai contenuti del Forum.

Grazie a te!

Vorrei capire cosa significa (a livello visivo) avere una funzione a due variabili soggetta a un vincolo.
Normalmente quando si studia una funzione a due variabili, se ne trovano gli estremi in tutti i punti x e y.

Quando vi è un vincolo, in pratica si cercano solo gli estremi che toccano tale vincolo?

Insomma vorrei capire il significato geometrico dell'esercizio se possibile!

Il significato geometrico della ricerca dei massimi e minimi con vincolo è che si ricercano i punti di massimo e minimo all'interno di un sotto-dominio caratterizzato ad esempio da una porzione di piano R^2 (x,y) che può essere ad esempio una certa regione (cerchio, elisse o altra porzione di piano) oppure come nel caso del tuo esercizio una curva del piano (x,y) fissata da una equazione (quella del vincolo) che può essere ad esempio una parabola, una retta o qualcos'altro.

Questo significa che ci muoveremo con (x,y) solo su quella curva in una parte di dominio a cui corrisponderanno un sottoinsieme di punti z nello spazio della funzione, cioè ad esempio nel caso del paraboloide sopra ci sarà una "traccia" (curva) segnata nella superficie del paraboloide solo da quei punti del dominio. Pensa a un "laser" che dai punti del dominio scolpisce una traccia nella superficie del paraboloide. Ebbene con il procedimento di Lagrange noi troviamo, di quella traccia "laser", tutti i punti più alti o più bassi (max e min).

Bene, avevo più o meno intuito correttamente.

Grazie ancora!