Ciao, la ricerca dei max e min nei punti interni al vincolo corrisponde alla ricerca dei max e min relativi liberi in quella zona di dominio dove si ha la derivabilità completa della funzione. In questa zona interna del vincolo, una volta trovati eventuali max e min relativi con le relative derivate parziali e l'Hessiano, occorre confrontare poi le quote della funzione in quei punti per stabilire chi è il max assoluto e chi il min assoluto.
Per fare un'analogia con le funzioni ad 1 variabile e la relativa ricerca dei max e min assoluti su un intervallo (l'intervallo sarebbe il vincolo per le funzioni di 1 variabile), trovare il max e min di una funzione di 2 variabili con le derivate parziali e l'Hessiano, equivale a trovare i max e min relativi di una funzione ad una variabile con lo studio del segno della derivata prima, ma nei soli punti interni ad un intervallo dove si ha la derivabilità completa della funzione (si ricordi che tutti i teoremi di ricerca dei max e min richiedono nelle loro ipotesi la derivabilità completa destra-sinistra nel punto o in un intorno completo!). Nei punti di confine dell'intervallo quindi (dove la funzione potrebbe non essere derivabile o comunque non avere un max o min) occorre fare un calcolo a parte della quota della funzione in quei punti e poi confrontarla con le quote dei max e min trovati nei punti interni dell'intervallo per trovare poi i max e min assoluti.
Quindi con le funzioni di 2 variabili nei punti di frontiera del vincolo, non potendo considerare in generale la funzione derivabile in quei punti rispetto a un intorno completo (o comunque non avere max e min) (anche qui tutti i teoremi di ricerca dei max e min con le derivate parziali e l'Hessiano richiedono nelle loro ipotesi la derivabilità completa rispetto a un intorno completo!), è necessario indagare in altro modo: ad esempio con il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange (oppure per Sostituzione della Equazione del Vincolo ove possibile) si riconduce la ricerca dei max e min sulla frontiera del vincolo ad un normale problema di ricerca di max e min relativi liberi sulla funzione Lagrangiana a 3 variabili.
In altre parole trovare i max e min relativi liberi sulla Funzione Lagrangiana (a tre variabili) equivale a trovare i max e min vincolati sulla frontiera del vincolo della funzione iniziale a 2 variabili.
Ovviamente di tutti i punti trovati di max e min occorre confrontare le quote (anche con quelli interni al vincolo) per trovare il max e min assoluto definitivi!
Saluti.
NB: Questo post può essere al momento meglio classificato nella categoria "Funzioni di più Variabili e Analisi Complessa". Lo User Admin provvederà allo spostamento.
