R-I integrabile ed espressione di una primitiva

[florinda]

Sono sempre io, ho finalmente passato lo scritto di matematica ad economia ma ora mi tocca la prova orale. Cmq siccome credo che la mia prof mi interroghi anche sugli esercizi non svolti o svolti male, le posto qui di seguito un esercizio al quale credo di aver risposto male, ma le sarei grata se ci ragionassimo insieme.
Allora la funzione è: F(x) parentesi graffa : sen3x+x se x <= 0 e 2x se x >=0

a) la funzione è regolare in - infinito?
b) la funzione è limitata?
c) la funzione e Riman integrabile?
d) si scriva l espressione di una sua primitiva

Allora, come le scrissi in un altro post qualche giorno fà, io alla lettera a) ho risposto che è regolare poichè ammette limite ed è uguale a - infinito
alla b) ho rispoto che è limitata. Ho calcolato il limite in 0 dx e sx avendo come isultato 0 ho dedotto sia limitata anche perchè il seno è una funzione limitata.
c) è R-I? ho risposto di no. E qui credo di aver sbagliato perchè la definizione dice che bisogna avere un insieme chiuso e limitato ed infatti (0) è un insieme chiuso e limitato ed in pià la funzione è limitata quindi dovrebbe essere si la risposta. Ma non lo so
d) nel scrivere una sua primitiva io ho scritto le le due primitive e cioè -cos3x+x^2/2+c e x^2+c

Cosa ne pensa?

La ringrazio come sempre.

[maurizio.schirinzi]

Ciao,

- poiché il limite per x che tende a +infinito fà +infinito e per x che tende a -infinito fà -infinito la funzione (sempre in base a quello che intende il tuo prof per essere "regolare"), è regolare! ...
- poiché dunque la funzione se ne va all'infinito, non potrà essere limitata bensì illimitata superiormente e inferiormente! ...
- poiché la funzione risulta continua sull'intero dominio R (compreso il punto x=0 di separazione dei due tratti... basta fare i limiti destro e sinistro per confermare la continuità anche in quel punto), non ci saranno problemi di integrabilità secondo Riemann e sarà pertanto integrabile su tutto il dominio R! ...
- le primitive saranno:
\[\left\{ \begin{array}{l}
- \frac{1}{3}\cos (3x) + \frac{1}{2}{x^2} + c...........x \le 0\\
{x^2} + c..............................x > 0
\end{array} \right.\]
saluti e in bocca al lupo per l'esame...

PS: Poichè l'argomento trattato da questo topic è relativo più alla definizione di integrabilità di una funzione che alle primitive fondamentali, si rende opportuno lo spostamento del topic nella più appropriata sede. Lo User Admin provvederà al più presto al relativo spostamento.