Integrale doppio

[ascaplboh]

Qualcuno mi aiuta nella risoluzione di questo integrale


\[\iint xy dxdy\]

Su
A=\[\left \{ \left ( x,y \right )\in R^{2}: x^{2} + y^{2}< 1; x^{2}+y^{2}< 2x;y> 0 \right \}\]

[maurizio.schirinzi]

Ciao, rappresentando il dominio \[A = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {R^2}:{x^2} + {y^2} \le 1,\;{x^2} + {y^2} \le 2x,\;y \ge 0} \right\}\] esso è l'intersezione (nel semipiano positivo delle y) tra le due circonferenze di centro (0,0) e di centro (1,0), entrambe di raggio 1.

Mettendo a sistema le due circonferenze e trovando il punto di intersezione nel primo quadrante si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
{x^2} + {y^2} - 2x = 0
\end{array} \right.\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\\
y = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.\]
ricavando la y>0 dalle due equazioni delle circonferenze e integrando per "fili" paralleli verticali prima da 0 a 1/2 e poi da 1/2 a 1 lungo x si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\;\; \to \;\;y = \pm \sqrt {1 - {x^2}} \\
{x^2} + {y^2} - 2x = 0\;\; \to \;\;y = \pm \sqrt {2x - {x^2}}
\end{array} \right.\]
\[\int {\int\limits_A {xy\;dxdy} } = \int\limits_0^{1/2} {(\int\limits_0^{\sqrt {2x - {x^2}} } {xy\;dy)} } \,dx + \int\limits_{1/2}^1 {(\int\limits_0^{\sqrt {1 - {x^2}} } {xy\;dy)} } \,dx = \;...\]
Saluti.

[ascaplboh]

non ho capito perchè espliciti la y da entrambe le equazioni di circonferenze..

[maurizio.schirinzi]

Perchè serve per calcolare la y in funzione di x per impostare l'estremo superiore del primo integrale che lavora sulla prima circonferenza e l'estremo superiore del secondo integrale che lavora sulla seconda circonferenza, con integrazione per "fili paralleli verticali" al variare della x da 0 a 1/2 per il primo integrale e da 1/2 a 1 per il secondo integrale.

Saluti.

[ascaplboh]

ah già...la x varia in un intervallo mentre la y tra due funzioni..