La questione della misurabilità dell'insieme I per avere l'integrabilità secondo Riemann prescinde dal fatto che l'insieme sia chiuso o aperto.
Si tratta ovviamente di questioni molto teoriche e un pò delicate, e molto dipende da come si costruiscono e si definiscono le varie cose.
In generale un insieme Ω è misurabile secondo Peano-Jordan se il suo bordo ∂Ω ha misura nulla, indipendentemente dal fatto che ∂Ω, o parti di esso, sia contenuto in Ω e indipendentemente dal fatto che Ω sia chiuso o aperto.
Ecco un ottimo riferimento (di cui ti consiglio una buona lettura) sulla necessità di introdurre la questione della misurabilità per poter definire l'integrazione secondo Riemann:
Approfondimenti Integrale di RiemannSi tratta della questione analoga alla definizione di integrale in R per funzioni limitate e con a meno di un "numero finito di punti di discontinuità di prima o terza specie", cioè l'analogo dell'ipotesi di funzioni "continue a tratti" che si fa i R, per poter definire l'integrabilità anche per funzioni non necessariamente continue sull'intervallo [a,b]. Per estendere questo concetto di integrabilità a funzioni di più variabili è necessario precisare delle condizioni di sufficiente "regolarità" sulla funzione che vengono formalizzate attraverso la teoria un pò astratta della misurabilità degli insiemi che permette poi di avere delle condizioni sufficienti per l'integrabilità.
Saluti.
