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Ciao, come mai nel contesto del cambiamento di variabili si prende una restrizione della funzione che definisce le relazioni tra le vecchie e le nuove variabili, affinché essa sia un diffeomorfismo?

Il Diffeomorfismo è la proprietà nel caso delle funzioni di più variabili di essere differenziabile, invertibile e con inversa differenziabile! ...

E' l'analogo concetto e relativa ipotesi che serve nella teoria degli integrali, come nel caso delle funzioni ad una variabile in Analisi 1, dove per poter operare un cambiamento di variabile serve una funzione derivabile, biettiva e con inversa derivabile (vedi teorema del cambiamento di variabile nella teoria degli integrali in Analisi 1).

Per le funzioni di più variabili le cose sono formalmente e inevitabilmente un po più astratte e più complesse ma la sostanza non cambia.

Ecco il link relativo alla definizione di Diffeomorfismo con tutti i dettagli:

Diffeomorfismo

Saluti.