Trasformata della funzione parte intera

[nuccio88]

Ciao, come si calcola la trasformata della funzione [t]? Ho provato ad applicare la definizione risolvendo quindi l'integrale. Potrei avere per favore la soluzione finale?

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[L(\left\lfloor t \right\rfloor ) = \int\limits_0^{ + \infty } {\left\lfloor t \right\rfloor \,{e^{ - st}}dt} \,\]
sinceramente non l'ho mai calcolata ... ma un idea potrebbe essere questa:

poichè la funzione parte intera è definita cosi
\[\left\lfloor t \right\rfloor = \left\{ \begin{array}{l}
0\;\;\;\;\;0 \le t < 1\\
1\;\;\;\;\;1 \le t < 2\\
2\;\;\;\;\;2 \le t < 3\\
...\\
n\;\;\;\;\;n \le t < n + 1
\end{array} \right.\]
con $n \in N$ possiamo scrivere
\[L(\left\lfloor t \right\rfloor ) = \int\limits_0^{ + \infty } {\left\lfloor t \right\rfloor \,{e^{ - st}}dt} \, = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\int\limits_n^{n + 1} {n\,{e^{ - st}}dt} } = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {n\int\limits_n^{n + 1} {{e^{ - st}}dt} } = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{n}{s}\int\limits_n^{n + 1} {s\,{e^{ - st}}dt} } = \]
\[ = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{n}{s}\;[ - {e^{ - st}}]_n^{n + 1}} = \frac{1}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } { - n\;[{e^{ - s(n + 1)}} - {e^{ - sn}}]} = \frac{1}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } { - n\;[{e^{ - sn}}{e^{ - s}} - {e^{ - sn}}]} = \]
\[ = \frac{1}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } { - n\;{e^{ - sn}}[{e^{ - s}} - 1]} = - \frac{{{e^{ - s}} - 1}}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {n\;{e^{ - sn}}} = \frac{{1 - {e^{ - s}}}}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {n\;{e^{ - ns}}} = \]
\[ = \frac{{1 - {e^{ - s}}}}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{d}{{ds}}[\int\limits_0^s {n\;{e^{ - nt}}dt} } ] = \frac{{1 - {e^{ - s}}}}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{d}{{ds}}[ - {e^{ - nt}}} ]_0^s = \]
\[ = - \frac{{1 - {e^{ - s}}}}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{d}{{ds}}[{e^{ - ns}} - 1]} = - \frac{{1 - {e^{ - s}}}}{s}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{d}{{ds}}[{e^{ - ns}}]} = \]
\[ = \frac{{{e^{ - s}} - 1}}{s}\frac{d}{{ds}}[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{e^{ - ns}}} ] = \frac{{{e^{ - s}} - 1}}{s}\frac{d}{{ds}}[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{{({e^{ - s}})}^n}} ] = \]
\[ = \frac{{{e^{ - s}} - 1}}{s}\frac{d}{{ds}}[\frac{1}{{1 - {e^{ - s}}}}] = \frac{{{e^{ - s}} - 1}}{s}[ - \frac{{{e^{ - s}}}}{{{{(1 - {e^{ - s}})}^2}}}] = \frac{{1 - {e^{ - s}}}}{s}[\frac{{{e^{ - s}}}}{{{{(1 - {e^{ - s}})}^2}}}] = \]
\[ = \frac{{{e^{ - s}}}}{{s(1 - {e^{ - s}})}} = \frac{{\frac{1}{{{e^s}}}}}{{s(1 - \frac{1}{{{e^s}}})}} = \frac{1}{{s{e^s}}}\frac{1}{{\frac{{{e^s} - 1}}{{{e^s}}}}} = \frac{1}{{s({e^s} - 1)}}\]
con tutte le ovvie considerazioni teoriche relative alla totale convergenza della serie geometrica e al relativo scambio dell'operatore di derivata con il simbolo di serie !! ...

Ti prego tuttavia di ricontrollare tutti i calcoli poichè l'ho sviluppata un pò troppo velocemente ...

Saluti.