PROBLEMA di Trigonometria applicata alla Geometria

[rossini128]

Aiuto la prof ci ha dato questo problema da risolvere per mercoledì:

Considera il triangolo ABC di lati AB=3a e AC=a e l'angolo BAC=30. Sia P un punto interno al triangolo. determina l'angolo PAC in modo che il rapporto tra le somme delle aree dei triangolo ACP e ABP e il lato AP risulti 2Ka.

Scusate ma mi basterebbe arrivare a scrivere la relazione finale ovvero : che il rapporto tra le somme delle aree dei triangolo ACP e ABP e il lato AP risulti 2Ka.


Grazie in anticipo per l'aiuto e la velocità (se possibile)
Vince

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ponendo:
\[\begin{array}{l}
\overline {AB} = 3a\\
\overline {AC} = a\\
\widehat {BAC} = 30^\circ \\
\widehat {PAC} = x\\
0 < x < 30^\circ
\end{array}\]
si ha:
\[\frac{{S(ACP) + S(APB)}}{{\overline {AP} }} = 2ka\]
\[S(ACP) = \frac{1}{2}\overline {AC} \cdot \overline {AP} \cdot sen(x)\]
\[S(APB) = \frac{1}{2}\overline {AB} \cdot \overline {AP} \cdot sen(30 - x)\]
da cui calcolando la relazione si ha
\[\frac{{S(ACP) + S(APB)}}{{\overline {AP} }} = \frac{{\frac{1}{2}\overline {AC} \cdot \overline {AP} \cdot sen(x) + \frac{1}{2}\overline {AB} \cdot \overline {AP} \cdot sen(30 - x)}}{{\overline {AP} }} = \]
\[ = \frac{{\frac{1}{2}a \cdot \overline {AP} \cdot sen(x) + \frac{1}{2}3a \cdot \overline {AP} \cdot sen(30 - x)}}{{\overline {AP} }} = 2ka\]
dunque
\[\frac{{\overline {AP} \cdot [\frac{1}{2}a \cdot sen(x) + \frac{1}{2}3a \cdot sen(30 - x)]}}{{\overline {AP} }} = 2ka\]
da cui semplificando
\[\frac{1}{2}a \cdot sen(x) + \frac{1}{2}3a \cdot sen(30 - x) = 2ka\]
\[sen(x) + 3sen(30 - x) = 4k\]
sviluppando poi con le formule di addizione del seno potrai scriverla più comodamente come una lineare in seno e coseno parametrica da discutere eventualmente rispetto a k con l'opportuno metodo.

Saluti.

[rossini128]

Grazie moltissimo