Calcolo limite goniometrico

[piero87]

Ciao a tutti:)
Mi aiutate a risolvere questo limite ?

\[\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{tg^2(x)})\] ??
devo fare il minimo comune multiplo?

grazie mille

[maurizio.schirinzi]

Questo limite non è possibile risolverlo con le tecniche dei limiti notevoli: se provi ad applicare il limite notevole della tangente, mantenendo separati i due termini, caschi in forma indeterminata +infinito-infinito. Potresti fare un minimo comune multiplo per ricondurti alla forma indeterminata [0/0] per tentare poi un De L'Hopital ma con evidente complessità dell'algebra di derivazione!

La strada più conveniente resta quella degli sviluppi di taylor al 3° ordine per la tangente e il minimo comune multiplo per ricondursi alla funzione razionale fratta su cui eliminare la forma indeterminata. Ecco lo svolgimento con Taylor-Landau:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{t{g^2}(x)}}] \cong \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{{(x + \frac{1}{3}{x^3} + o({x^3}))}^2}}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{1}{9}{x^6} + o({x^6}) + \frac{2}{3}{x^4} + 2x\,o({x^3}) + \frac{2}{3}{x^3}o({x^3})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{1}{9}{x^6} + o({x^6}) + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}) + o({x^6})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4})}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}) - {x^2}}}{{{x^2}({x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}))}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{2}{3}{x^4} + o({x^4})}}{{{x^4} + \frac{2}{3}{x^6} + o({x^6})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^4}[\frac{2}{3} + \frac{{o({x^4})}}{{{x^4}}}]}}{{{x^4}[1 + \frac{2}{3}{x^2} + o({x^2})]}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{2}{3} + \frac{{o({x^4})}}{{{x^4}}}}}{{1 + \frac{2}{3}{x^2} + o({x^2})}} = \frac{2}{3}\]

Tra l'altro questo limite è stato svolto nel seguente video-tutorial con tutte le spiegazioni dettagliate sull'uso degli sviluppi di Taylor con i simboli di Landau. Ti consiglio di guardare il video e gli altri moltissimi video-tutorials della stessa playlist!

Analisi 1 >> Limiti >> Calcolo di Limiti >> Limiti Vari con tecniche di Sviluppi di Taylor >> Sviluppi di Taylor con simboli di Landau : Calcolo Limiti Vari con tecniche di Sviluppi di Taylor-Landau - ESERCIZI (2013.09.26-17.40)

Saluti.