Limiti misti, radicali e logaritmi, limiti notevoli

[silvietta91]

Salve di nuovo,
date le sue recenti rivelazioni riguardo la dubbia correttezza degli esercizi proposti all'esame dal mio professore,le mostro 3 limiti da me risolti secondo le tecniche note e considerati errati dal professore. Non so per quale motivo dato che non ho ancora avuto modo di parlarci di persona ma soltanto via mail.

Limiti:

Il limite a) l'ho risolto raccogliendo la x^2 sotto radice(1/x^2 tende a zero) e successivamente semplificando la x^2 con la radice. x*ln(1+1/x) so essere lne=1
Il limite b) l'ho risolto razionalizzando il contenuto tra parentesi e successivamente moltiplicandovi la radice fuori dalle parentesi. Il risultato è 1/2,confermato dal noto programma Wolfram Alpha.
Il limite c) l'ho risolto applicando i limti notevoli ovvero sinx/x etc etc il risultato è 1.

Il professore ha risposto alla mia mail sottolineando la presenza di errori gravi riguardanti la risoluzione dei limiti. Dovendo affrontare l'orale,ero intenzionata a cercare di capire quali fossero questi errori,ed ora,dopo le sue rivelazioni,ho il forte dubbio che non ce ne siano!
Nuovamente la ringrazio per tutto.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ecco i 3 limiti:
a) \[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {x^2}} \ln (1 + \frac{1}{x}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{x^2}(\frac{1}{{{x^2}}} + 1)} \ln (1 + \frac{1}{x}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \ln (1 + \frac{1}{x}) = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \frac{{\ln (1 + \frac{1}{x})}}{{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln (1 + \frac{1}{x})}}{{\frac{1}{x}}} = 1 \cdot 1 = 1
\end{array}\]
b) \[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt x (\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 1} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x \,(\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 1} )(\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 1} )}}{{(\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 1} )}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x \,[(x + 2) - (x - 1)]}}{{(\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 1} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x \,[3]}}{{(\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 1} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 1} }} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt {x(1 + \frac{2}{x})} + \sqrt {x(1 - \frac{1}{x})} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x \sqrt {1 + \frac{2}{x}} + \sqrt x \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt {1 + \frac{2}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} )}} = \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = \frac{3}{2}
\end{array}\]
c) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{sen({x^4})}}{{se{n^2}({x^2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{sen({x^4})}}{{{x^4}}}{x^4}}}{{{{(\frac{{sen({x^2})}}{{{x^2}}}{x^2})}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{sen({x^4})}}{{{x^4}}}{x^4}}}{{{{(\frac{{sen({x^2})}}{{{x^2}}})}^2}{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{sen({x^4})}}{{{x^4}}}}}{{{{(\frac{{sen({x^2})}}{{{x^2}}})}^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} = 1\]

Saluti.

NB: Ti prego di scrivere il testo delle formule sempre con l'equation editor e di non postare foto dei testi degli esercizi. Posta inoltre ogni tipologia di esercizio nella singola categoria appropriata e non esercizi postati in gruppo! Grazie.