Limite di funzione esponenziale

[annamaria]

\[f(x)= \frac{4^{x^{3}-tanx^{5}}-5^{x^{3}-tanx^{5}}}{arctgx-x}\]

per risolvere tale limite ho pensato di aggiungere +1-1

quindi
\[f(x)= \frac{4^{x^{3}-tanx^{5}}-1+1-5^{x^{3}-tanx^{5}}}{arctgx-x}\]

applico i limiti notevoli

\[f(x)=\frac{log4(x^{3}-x^{5})-log5(x^{3}-x^{5})}{arctgx-x}\]
da qui in poi mi imbroglio....
potete darmi gentilmente una mano?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, innanzi tutto non è chiaro qual'è il limite?!! ... immagino per x-->0! ... in tal caso occorrerebbe scrivere:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^{{x^3} - tan{x^5}}} - {5^{{x^3} - tan{x^5}}}}}{{arctgx - x}} = [\frac{0}{0}]\]

Purtroppo questo limite, a causa della presenza a denominatore di arctg(x) a confronto con x, non è possibile svolgerlo con le normali tecniche di calcolo dei limiti notevoli. Infatti in tal caso non si riuscirebbe ad eliminare la forma indeterminata.

E' necessario dunque ricorrere alle tecniche più avanzate degli sviluppi di Taylor approssimando almeno al 3° ordine la funzione arctg(x), e quindi considerando almeno gli analoghi ordini di approssimazione per le funzioni esponenziali a numeratore.

Saluti.

[annamaria]

Sinceramente non ho trattato gli sviluppi di taylor a lezione... non so neanche che cosa siano... quindi immagino che ci debba essere un altro modo per risolverli?

[maurizio.schirinzi]

Purtroppo NO!! ... quel limite è risolvibile solo con gli sviluppi di Taylor!! ...

Se quel limite lo hai preso da uno dei compiti universitari del tuo prof vuol dire che l'argomento sviluppi di Taylor è previsto dal tuo esame; pertanto ti consiglio di studiare tale argomento soprattutto relativamente alle tecniche di calcolo dei limiti.

A causa del solito discutibile atteggiamento didattico di alcuni prof universitari, anche se a lezione non hanno trattato l'argomento e non ha fatto neanche un esercizio di quel tipo, ma l'argomento è previsto dal tuo corso universitario, il consiglio generale resta sempre quello di studiare quell'argomento integralmente, perchè poi all'esame può essere richiesto come se fosse stato svolto a lezione in maniera completa e approfondita!

Nel sito troverai moltissimi esercizi sulle tecniche di calcolo dei limiti con gli sviluppi di Taylor, che ti consiglio di guardare dopo aver prima studiato un po di teoria sull'argomento.

In alternativa puoi provare a risolvere il limite con la regola di De L'Hopital, ma solo se nel testo del compito non è esplicitamente indicato di utilizzare le tecniche generali di calcolo dei limiti compreso Taylor!

Saluti.

[maurizio.schirinzi]

Ecco comunque lo svolgimento con De L'Hopital, che per fortuna in questo caso non comporta particolari complicazioni nell'algebra di derivazione:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^{{x^3} - tg({x^5})}} - {5^{{x^3} - tg({x^5})}}}}{{arctg(x) - x}}\mathop = \limits_H \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^{{x^3} - tg({x^5})}}\ln (4)(3{x^2} - \frac{1}{{{{\cos }^2}({x^5})}}5{x^4}) - {5^{{x^3} - tg({x^5})}}\ln (5)(3{x^2} - \frac{1}{{{{\cos }^2}({x^5})}}5{x^4})}}{{\frac{1}{{{x^2} + 1}} - 1}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(3{x^2} - \frac{1}{{{{\cos }^2}({x^5})}}5{x^4})[{4^{{x^3} - tg({x^5})}}\ln (4) - {5^{{x^3} - tg({x^5})}}\ln (5)]}}{{\frac{{ - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}(3 - \frac{1}{{{{\cos }^2}({x^5})}}5{x^2})[{4^{{x^3} - tg({x^5})}}\ln (4) - {5^{{x^3} - tg({x^5})}}\ln (5)](\frac{{{x^2} + 1}}{{ - {x^2}}}) = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (3 - \frac{1}{{{{\cos }^2}({x^5})}}5{x^2})[{4^{{x^3} - tg({x^5})}}\ln (4) - {5^{{x^3} - tg({x^5})}}\ln (5)]( - {x^2} - 1) = \]
\[ = (3 - 0)[\ln (4) - \ln (5)]( - 1) = 3[\ln (5) - \ln (4)] = 3\ln (\frac{5}{4}) = \ln (\frac{{125}}{{64}})\]

Tieni presente comunque che in generale per limiti con espressioni appena più complesse di questa occorre per forza usare gli sviluppi di Taylor, poichè i calcoli dell'algebra di derivazione potrebbero essere talmente complessi da non portare a nulla. In quei casi De L'Hopital è inutilizzabile!

Saluti.


PS: Poichè questo limite si poteva dunque fare anche con De L'Hopital il topic verrà spostato nella categoria "Calcolo Limiti Vari con regola di De L'Hopital".