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verificare che il limite\[\lim_{x\rightarrow +\propto } \frac{2x+3}{x+1}=2\]

\[\lim_{x\rightarrow +\propto } \frac{2x+3}{x+1}=2 \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists h>0 tc \left | \frac{2x+3}{x+1}-2 \right | <\varepsilon\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists h>0 tc \forall x : \left | \frac{1}{x+1} \right | <\varepsilon\]

fisso \[\varepsilon >0\] suppongo che \[\exists h>0\] per cui

\[\left| {\frac{1}{{x + 1}}} \right| < \varepsilon \Leftrightarrow - 1 - \frac{1}{\varepsilon }\; < x < - 1 + \frac{1}{\varepsilon }\]

il mio problema è: quale scelgo tra le due? faccio l'esercizio molto meccanicamente purtroppo...

Ciao, innanzitutto l'ultima formula era illeggibile e l'abbiamo corretta sperando di averla interpretata correttamente per come la volevi scrivere! ... infatti in tal caso risulta un errore nella risoluzione della disequazione con il valore assoluto; si ha infatti:
\[\frac{1}{{\left| {x + 1} \right|}} < \varepsilon \]
\[\left| {x + 1} \right| > \frac{1}{\varepsilon }\]
\[x + 1 < - \frac{1}{\varepsilon }\;\;\; \vee \;\;\;x + 1 > \frac{1}{\varepsilon }\]
\[x < - 1 - \frac{1}{\varepsilon }\;\;\; \vee \;\;\;x > - 1 + \frac{1}{\varepsilon }\]
a questo punto basta verificare di aver trovato un intorno di +infinito (dato che la x tende a +infinito); possiamo dunque considerare il seguente intorno di +infinito:
\[x > - 1 + \frac{1}{\varepsilon }\]
poichè $\varepsilon$ è da intendersi molto-molto piccola, anche se arbitraria, e pertanto la quantità $\frac{1}{\varepsilon }$ e quindi anche $- 1 + \frac{1}{\varepsilon }$ si può considerare abbastanza grande da rappresentare "h" nella tua definizione di limite, quello "h" che non devi supporre esistere inizialmente ma devi dimostrare che esiste con il procedimento!

Saluti.