\[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{2^n(\frac{x}{2}-1)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\]
La prima cosa che faccio è scrivere la serie in un altro modo, per avere la x da sola piuttosto che come frazione. Quindi rendo uguali gli esponenti che ho al numeratore della serie, e poi unisco le basi:
\[\frac{1}{2^2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{2^{n+2}(\frac{x}{2}-1)^{n+2}}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(x-2)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\]
Adesso applico il criterio del rapporto (credo di poterlo fare, no? La serie è a termini positivi, x permettendo).
\[\lim_{n\to \infty}\left | \frac{(x-2)^{n+3}(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)(x-2)^{n+2}} \right |=\left | x-2 \right |\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{n+3}=\left | x-2 \right |\]
Di conseguenza, per convergere:
\[\left | x-2 \right |<1\Rightarrow -1<x-2<1\Rightarrow 1<x<3\]
Quindi so già che il raggio di convergenza è 1.
Adesso devo studiare il comportamento della serie nei punti $x=1$ e $x=3$, per vedere se converge o diverge agli estremi dell'intervallo di convergenza (o insieme di convergenza):
Per $x=1$ la serie diventa:
\[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\]
Qui nasce il primo dubbio: devo scrivere $\frac{1}{4}$ fuori dalla serie? O lo ignoro? Comunque continuo con lo studio. La serie è diventata una serie a segno alterno, quindi applico il criterio di Leibnitz per vedere se converge. Se il limite a infinito (ignorando il termine negativo a numeratore) tenderà a 0, e se la funzione decresce, allora questo criterio ci dice che la serie converge. Altrimenti anche se una sola delle due condizioni non è soddisfatta, allora la serie diverge. Applico il criterio:
\[\lim_{n\to \infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}=0\]
Il limite viene 0 perciò la prima condizione è soddisfatta. Si nota anche che il denominatore diventa sempre più grande mentre il numeratore è fisso, quindi la funzione decresce ed entrambe le condizioni sono soddisfatte (esiste un metodo più formale per determinare se la funzione decresce?). Quindi la serie converge nel punto $x=1$.
Per $x=3$ la serie diventa:
\[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\]
Qui i dubbi sono due: uno, è sempre lo stesso... devo scrivere o no $\frac{1}{4}$ fuori dalla serie? L'altro dubbo è: posso scrivere semplicemente $1$ invece di $1^{n+2}$ al numeratore?
Per questa serie ho calcolato il limite a infinito, ed è venuto $0$, quindi la serie potrebbe convergere. Applicando il criterio del rapporto, il risultato è 1, quindi test inconclusivo. Applico il criterio del confronto:
\[\frac{1}{n^2+3n+2}\leq \frac{1}{n^2}\]
La seconda frazione somiglia a una serie armonica (che so che è divergente), ma questa ha un esponente positivo sulla n ed è convergente (la chiamano P-Series o over-harmonic series su Wikipedia, non so come si chiama in italiano). Essendo la mia serie minore di una serie convergente, allora anche la mia converge.
Dunque la serie ha insieme di convergenza $[1, 3]$.
Ho sbagliato qualcosa? Se no, procedo con il trascrivere i passaggi per la somma... non sono semplici
Grazie!
