Somma di serie di potenze

[luanaemauro]

salve ragazzi a breve ho l'esame di analisi e non riesco a trovare la somma di queste due serie di potenze:
sommatoria n=o di :[(x-2)^n]/(n+1)
sommatoria n=0 di :[(x-4)^(n+2)]/[(n^n)(n+1)]
gradirei anche lo svolgimento al fine di capire una volta per tutte queste due benedette serie......grazie anticipatamente =)

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ... per entrambe le serie basta applicare il criterio del rapporto studiando la convergenza assoluta che implica poi la semplice.
Nei passaggi successivi intenderò (x-2) della prima serie e (x-4) della seconda serie entrambi in valore assoluto! ... quindi:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 2)}^n}}}{{n + 1}}} \]
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}{{n + 1 + 1}}}}{{\frac{{{{(x - 2)}^n}}}{{n + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}{{(n + 1 + 1)}}\frac{{(n + 1)}}{{{{(x - 2)}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(x - 2)}^n}(x - 2)}}{{(n + 2)}}\frac{{(n + 1)}}{{{{(x - 2)}^n}}} = \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{(x - 2)(n + 1)}}{{(n + 2)}} = (x - 2)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{(n + 1)}}{{(n + 2)}} = (x - 2) \cdot 1 = \left| {x - 2} \right| < 1\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;1 < x < 3\;\;(convergenza)
\end{array}\]
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 4)}^{n + 2}}}}{{{n^n}(n + 1)}}} \]
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{{{(x - 4)}^{n + 2 + 1}}}}{{{{(n + 1)}^{n + 1}}(n + 1 + 1)}}}}{{\frac{{{{(x - 4)}^{n + 2}}}}{{{n^n}(n + 1)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(x - 4)}^{n + 2 + 1}}}}{{{{(n + 1)}^{n + 1}}(n + 1 + 1)}}\frac{{{n^n}(n + 1)}}{{{{(x - 4)}^{n + 2}}}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(x - 4)}^{n + 3}}}}{{{{(n + 1)}^{n + 1}}(n + 2)}}\frac{{{n^n}(n + 1)}}{{{{(x - 4)}^{n + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(x - 4)}^n}{{(x - 4)}^3}}}{{{{(n + 1)}^n}{{(n + 1)}^1}(n + 2)}}\frac{{{n^n}(n + 1)}}{{{{(x - 4)}^n}{{(x - 4)}^2}}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{(x - 4)\;{n^n}}}{{{{(n + 1)}^n}(n + 2)}} = (x - 4)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^n}}}{{{{(n + 1)}^n}(n + 2)}} = (x - 4)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^n}}}{{{{(n + 1)}^n}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{(n + 2)}} = \\
= (x - 4)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^n}}}{{{{(n + 1)}^n}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{(n + 2)}} = (x - 4)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\frac{{{{(n + 1)}^n}}}{{{n^n}}}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{(n + 2)}} = \\
= (x - 4)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{{(\frac{{n + 1}}{n})}^n}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{(n + 2)}} = (x - 4)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{{(1 + \frac{1}{n})}^n}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{(n + 2)}} = \\
= (x - 4)\frac{1}{e}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{(n + 2)}} = 0 < 1\;\;\;(converge\;per\;\forall x \in R)
\end{array}\]

Saluti.

PS: Ti prego di usare l'equation editor integrato nel forum (o altro programma esterno compatibile LaTex come ad es. MathType) per scrivere le formule matematiche in modo più facilmente leggibile per tutti, affinchè gli utenti si dimostrino più disponibili a rispondere ai quesiti postati. Grazie.
Poichè la serie in questione è una serie di funzioni di variabile reale, questo topic verrà spostato nella sezione più appropriata "Serie di Funzioni Reali e Serie di Potenze"! ... Lo User Admin provvederà al più presto allo spostamento.

[luanaemauro]

ciao grazie mille ma io già tutto questo l'avevo fatto....come citavo precedentemente a me serve solo la somma delle due serie di potenza e non l'insieme di convergenza o il carattere

[maurizio.schirinzi]

Si, scusa ma ho letto il tuo post troppo frettolosamente e non mi sono accorto della tua richiesta più specifica sulla somma della serie...
Per la prima serie si può tranquillamente usare la tecnica del termine scritto come integrale:
\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 2)}^n}}}{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \frac{1}{{(x - 2)}} = \frac{1}{{(x - 2)}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} = \frac{1}{{(x - 2)}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\int\limits_2^x {{{(t - 2)}^n}dt} } = \\
= \frac{1}{{(x - 2)}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\int\limits_2^x {{{(t - 2)}^n}dt} } = \frac{1}{{(x - 2)}}\int\limits_2^x {(\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{{(t - 2)}^n}} } )dt = \frac{1}{{(x - 2)}}\int\limits_2^x {(\frac{1}{{1 - (t - 2)}}} )dt = \\
= \frac{{ - 1}}{{(x - 2)}}\int\limits_2^x {(\frac{1}{{t - 3}}} )dt = \frac{{ - 1}}{{(x - 2)}}[\ln \left| {t - 3} \right|]_2^x = \frac{{ - 1}}{{(x - 2)}}[\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| { - 1} \right|] = \frac{{ - 1}}{{(x - 2)}}\ln \left| {x - 3} \right|
\end{array}\]
Per la seconda serie la cosa si fa un pò più complessa a causa del fattore \({n^n}\) ... forse si potrebbe tentare di spezzare la frazione come somma di frazioni... ma non ho provato... e non è detto che ci si riesca... appena ho un po più di tempo farò qualche prova e ti farò sapere...
A presto.

[luanaemauro]

grazie mille allora attendo una tua risposta a presto =)

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ho dato un'altra occhiata a quella serie con il fattore \({{n^n}}\) ...

a me sembra che ci sia un qualche errore nel testo!! ... sei sicuro che a denominatore ci sia un \({{n^n}}\) ?? ...
quel fattore infatti sembra creare non pochi problemi ... anche il punto di partenza della serie (n=0) sarebbe sbagliato!! ... l'hai scritta cosi:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 4)}^{n + 2}}}}{{{n^n}(n + 1)}}} \]
se c'è \({{n^n}}\) a denominatore n non può partire da zero per ovvi motivi di campo di esistenza!

Mi sorge quindi il dubbio che non ci sia a denominatore qualcosa di diverso ... ad esempio \({2^n}\) o comunque con una base non dipendente da n visto che la serie parte da n=0!

A me sembra più probabile che il testo fosse ad esempio qualcosa del genere:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 4)}^{n + 2}}}}{{{2^n}(n + 1)}}} \]
Puoi controllare la fonte dell'esercizio per verificare che il testo sia esatto? ... grazie

A presto.

[luanaemauro]

oi ciao ho controllato ed hai ragione tu ho fatto un errore di scrittura non è al denominatore n^n ma 4^n

[maurizio.schirinzi]

Ah ecco!!... allora adesso tutto è più semplice! ... la somma si può calcolare come nell'altra serie nel seguente modo:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 4)}^{n + 2}}}}{{{4^n}(n + 1)}}} = \]
\[\begin{array}{l}
= \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 4)}^{n + 1}}(x - 4)}}{{{4^n}(n + 1)}}} = (x - 4)\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{(x - 4)}^{n + 1}}}}{{{4^n}(n + 1)}}} = (x - 4)\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{{4^n}}}\frac{{{{(x - 4)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)}}} = \\
= (x - 4)\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{{4^n}}}\int\limits_4^x {{{(t - 4)}^n}dt} } = (x - 4)\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\int\limits_4^x {\frac{1}{{{4^n}}}{{(t - 4)}^n}dt} } = (x - 4)\int\limits_4^x {[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{{4^n}}}{{(t - 4)}^n}]\;dt} } = \\
= (x - 4)\int\limits_4^x {[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{{(\frac{{t - 4}}{4})}^n}]\;dt} } = (x - 4)\int\limits_4^x {\frac{1}{{1 - (\frac{{t - 4}}{4})}}} \;dt = (x - 4)\int\limits_4^x {\frac{1}{{(\frac{{4 - t + 4}}{4})}}} \;dt = \\
= (x - 4)\int\limits_4^x {\frac{4}{{8 - t}}} \;dt = - 4(x - 4)\int\limits_4^x {\frac{1}{{t - 8}}} \;dt = - 4(x - 4)[\ln \left| {t - 8} \right|]_4^x = - 4(x - 4)[\ln \left| {x - 8} \right| - \ln \left| { - 4} \right|] = \\
- 4(x - 4)[\ln \left| {x - 8} \right| - \ln (4)] = - 4(x - 4)\;\ln (\frac{{\left| {x - 8} \right|}}{4})
\end{array}\]

Saluti.

PS: Puoi rispondere ai post senza usare la "citazione"; questo evita l'eccessivo rallentamento del caricamento delle pagine del Forum dovuto al motore di rendering del linguaggio LaTex che lavora per ogni singola formula che viene ricopiata. Grazie.