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salve avrei bisogno del suo aiuto con questo esercizio:

Si studi la convergenza della serie:

\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{n^2} - sen(n) + 1}}{{{n^4} + \ln (n)}}\cos (n!)} \]

grazie.

Ciao, \[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{n^2} - sen(n) + 1}}{{{n^4} + \ln (n)}}\cos (n!)} \]
analizzando il comportamento asintotico del termine n-esimo della serie si ha:
\[\frac{{{n^2} - sen(n) + 1}}{{{n^4} + \ln (n)}}\cos (n!)\mathop \simeq \limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^4}}} = \frac{1}{{{n^2}}}\]
il seno e coseno sono infatti funzioni limitate e il logaritmo è un infinito sempre di ordine inferiore alla potenza di n cioè
\[ - 1 \le sen(n) \le 1\;\;\;\;\;\; - 1 \le \cos (n!) \le 1\;\;\;\;\;\;\;\ln (n) \ll {n^4}\]
pertanto poichè la serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^2}}}} \;\;\;converge!\]
essendo una serie armonica generalizzata, per il criterio del confronto asintotico convergerà anche la serie data!

Saluti.