Problema con la convergenza di una serie
Inviato: 21/01/2013, 17:20Salve, stavo dando un'occhiata agli esercizi di questo pdf: http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... svolti.pdf
Precisamente l'esercizio 1.6.5.
Trascrivo la serie qui:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x-1)^n}{3^n+1}\]
La possiamo riscrivere come:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n(x-\frac{1}{2})^n}{3^n+1}\]
Poi lui sostituisce $z=x-\frac{1}{2}$.
Si riconduce a una serie centrata nell'origine (cosa significa questa frase?):
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^nz^n}{3^n+1}\]
Raggio = $\frac{3}{2}$
Lui dice che quando z=3/2 la serie risulta divergente... ma a me risulta convergente applicando il criterio per la convergenza assoluta come segue:
\[\lim_{n\to \infty}\left | \frac{3^n}{3^n+1} \right |=1<+\infty\]
Non capisco come faccia lui a dire che la serie diverge. Effettivamente schiaffando la serie in WolframAlpha, anche lì risulta divergente. Però a me viene convergente
Da notare che nel pdf si usa un metodo diverso da quello che ho usato io in questa discussione. Lui si calcola il raggio e da lì fa le verifiche (usando la sostituzione con z). E poi scrive l'insieme di convergenza risostituendo.
Alla fine il risultato è uguale, però a me rimane il problema che la serie, agli estremi (con z) risulta convergente.
Qualche delucidazione?
Grazie infinite!
Precisamente l'esercizio 1.6.5.
Trascrivo la serie qui:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x-1)^n}{3^n+1}\]
La possiamo riscrivere come:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n(x-\frac{1}{2})^n}{3^n+1}\]
Poi lui sostituisce $z=x-\frac{1}{2}$.
Si riconduce a una serie centrata nell'origine (cosa significa questa frase?):
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^nz^n}{3^n+1}\]
Raggio = $\frac{3}{2}$
Lui dice che quando z=3/2 la serie risulta divergente... ma a me risulta convergente applicando il criterio per la convergenza assoluta come segue:
\[\lim_{n\to \infty}\left | \frac{3^n}{3^n+1} \right |=1<+\infty\]
Non capisco come faccia lui a dire che la serie diverge. Effettivamente schiaffando la serie in WolframAlpha, anche lì risulta divergente. Però a me viene convergente
Da notare che nel pdf si usa un metodo diverso da quello che ho usato io in questa discussione. Lui si calcola il raggio e da lì fa le verifiche (usando la sostituzione con z). E poi scrive l'insieme di convergenza risostituendo.
Alla fine il risultato è uguale, però a me rimane il problema che la serie, agli estremi (con z) risulta convergente.
Qualche delucidazione?
Grazie infinite!
