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Ciao!
POtresti spiegarmi come si studia e si calcola la somma della seguente serie di funzioni:
\[\sum_{k=1}^{\propto } \frac{1}{k}[\frac{x-1}{2x+1}]^{k}\]

Ciao, non avevo ancora visto questo tuo post di ieri...
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} \;{(\frac{{x - 1}}{{2x + 1}})^n}\]
per lo studio della convergenza assoluta puoi applicare il criterio della radice:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\sqrt[n]{{\frac{1}{n}\;{{\left| {\frac{{x - 1}}{{2x + 1}}} \right|}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {\frac{{x - 1}}{{2x + 1}}} \right|\sqrt[n]{{\frac{1}{n}\;}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {\frac{{x - 1}}{{2x + 1}}} \right|{(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}} = \left| {\frac{{x - 1}}{{2x + 1}}} \right| < 1\]
ricordando che poichè 1/n tende a zero il limite di 1/n elevato alla 1/n è equivalente al limite \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^x} = 1\]
Per tutti gli altri dettagli dello studio di questo tipo di serie di funzioni, essendo di solito un pò lungo da sviluppare completamente qui, ti rimando ad alcuni esempi analoghi svolti completamente al seguente indirizzo (a pagina 3)...

Serie di Funzioni - Esercizi Svolti

Saluti.