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Salve ho varie domande da farle riguardo ad alcune serie di potenze.
\[\sum \frac{(2x-1)^{n})}{3^{n}+1}\]

Ho svolto questa serie e ho calcolato il raggio di convergenza rispetto la variabile z R=3/2 poi devo trovare l *insieme di convergenza e dato che avevo posto z=x-1/2 ho scritto che per il teorema di Abel |x-1/2|<3/2 la serie converge. mI blocco qui!

Poi \[\sum_{n=1}^{infinito} \frac{1}{n^{x}}\]
Qui nn so cosa fare
Posso rifarmi all armonica e dire che per x> 1 questa serie converge sicuramente quindi l*intervallo di convergenza sara (1,+ infinito) ma il raggio di conv. Non mi viene.


Grazie dell*aiuto anticipatameente, queste serie di potenze mi risultano molto ostiche

Ciao,
se nella prima serie il tuo problema è risolvere la disequazione con valori assoluti finale ecco i passaggi:
\[\begin{array}{c}
\left| {x - \frac{1}{2}} \right| < \frac{3}{2}\\
- \frac{3}{2} < x - \frac{1}{2} < \frac{3}{2}\\
- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\\
- 1 < x < 2
\end{array}\]
Riguardo alla seconda serie essa non è una serie di potenze bensi una normale serie armonica generalizzata la cui convergenza si studia come da te indicato (il raggio di convergenza per le serie non di potenze non c'entra nulla).

Saluti.

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Ok grazie. E semprea riguardo della serie\[\sum \frac{1}{n^{x}}\]
Se voglio vedere invece dove è convergente totalmente come faccio? Il mio prof ha fatto cosi
\[|\frac{1}{n^{x}}|< \frac{1}{n^{1+\varepsilon }}\]

Io ho capito che per la convergenza totale tu cerchi un \[M_{n}/|f_{n}(x)< M_{n}\] e la serie Mn converge ma perche lui ha fatto cosi?
\[\frac{1}{n^{1+\varepsilon }}\]
è minore di 1/n^x quindi a cosa ci serve ? Grazie ancora!

Infatti, la serie dei termini $\frac{1}{n^{1+\varepsilon }}$ converge per ogni $\varepsilon > 0$ essendo $1 + \varepsilon > 1$ perchè serie armonica generalizzata!

Saluti.