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Salve, la dimostrazione è la seguente:

sia x appartenente a I , mostriamo che
\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \sum\limits_{n = 1}^{infinito} {{f_n}'} \,(x)\]

consideriamo quindi \[\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} - \sum\limits_{n = 1}^{infinito} {f'} (x) = \sum\limits_{n = 1}^N {[\frac{{{f_n}(x + h) - {f_n}(x)}}{h} - {{f'}_n}(} x)] + \sum\limits_{n = N + 1}^{infinito} {[\frac{{{f_n}(x + h) - {f_n}(x)}}{h} - {{f'}_n}(} x)] = {A_N}(x) + {B_N}(x)\]

consideriamo prima B_N(x) e applicando lagrange a tutti gli addendi della serie otteniamo che esiste un \[\theta \epsilon (0.1)\]

per cui si ha \[B_N(x)= \sum_{N=n+1}^{infinito} f'_n(x+\theta h)-f'_n(x)\]

a me questo punto in cui viene applicato il teorema di lagrange non mi è chiaro. Lagrange afferma che esiste un punto c appartenente all'intervallo di definizione della funzione in cui la derivata prima è uguale al rapporto incrementale.comq viene applicato lagrange qui ora? grazie mille

Infatti il punto c del Teorema di Lagrange viene qui pensato parametrizzato con $\theta $ cioè posto
\[c = x + \theta h\] \[\theta \in ]0,1[\;\;\; \to \;\;\;c \in ]a,b[ = ]x,x + h[\] infatti
\[\begin{array}{l}
a = x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\theta = 0)\\
b = x + h\;\;\;\;\;(\theta = 1)
\end{array}\]
da cui per il terema di Lagrange applicato sull'intervallo $]a,b[ = ]x,x + h[$ si ha:
\[{f_n}'(c) = {f_n}'(x + \theta h) = \frac{{{f_n}(x + h) - {f_n}(x)}}{h}\]

Saluti.

Ok perfetto . Ultima cosa. Il teorema poi prosegue cosi \[|B_N|\leq \sum _{n=N+1}^{infinito} |f'_n(x+\theta h)-f'_n(x)|\leq 2\sum _{n=N+1}^{infinito}a_n\]

Poichè il resto di una serie convergente è infinitesimo fissato epsilon> 0 esiste un N_0 tale che
\[|B_N|\leq 2\sum _{n=N_0+1}^{infinito}a_n<\varepsilon\]
Fissiamo N=N_0 e occupiamoci di A_N_0. Poiché f_n è derivabile in x posso scrivere
\[{f_n}(x + h) - {f_n}(x) = {{f'}_n}(x)h + {\omega _n}(h)\]

E per h che tende a 0 \[\frac{\omega _n(h)}{h}\rightarrow 0\] (abbbiamo applicato teorema linearizzazione delle f. derivabili e sostituendo questa identità ad ogni addendo A_n_0 ottengo \[{A_N}_o = \sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {\frac{{{\omega _n}(h)}}{h}} \]
Questa parte non mi è chiara, se mi fornisce qualche passaggio in più magari ci arrivo:) e comunque credo di avere lo stesso problema dell'altra volta con le formule , ma è un errore mio o di equation editor? Non capisco dove sbaglio, le scrivo bene e poi riportandole nel testo alcune cominciano a non leggersi più!

Ciao, ho innanzi tutto aggiustato alcuni pedici che nei tuoi precedenti post rendevano la dimostrazione un po confusa formalmente (c'era la distinzione fondamentale tra N e n) e quindi il nome di A_N e B_N ...

Ecco i passaggi finali della dimostrazione con i giusti pedici:
\[\begin{array}{l}
{f_n}(x + h) - {f_n}(x) = {{f'}_n}(x)h + {\omega _n}(h)\\
{A_{{N_0}}} = \sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {[\frac{{{f_n}(x + h) - {f_n}(x)}}{h} - {{f'}_n}(} x)] = \sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {[\frac{{{{f'}_n}(x)h + {\omega _n}(h)}}{h} - {{f'}_n}(} x)] = \\
= \sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {[\frac{{{{f'}_n}(x)h}}{h} + \frac{{{\omega _n}(h)}}{h} - {{f'}_n}(} x)] = \sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {[{{f'}_n}(x) + \frac{{{\omega _n}(h)}}{h} - {{f'}_n}(} x)] = \sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {\frac{{{\omega _n}(h)}}{h}}
\end{array}\]
Saluti.


NB: Gli errori che dava l'equation editor erano dovuti a un errata formattazione dei pedici (avevi usato un pedice di pedice); un consiglio... controlla sempre nell'anteprima dell'equation editor come appare la formula nei minimi dettagli prima di postare il relativo codice. Inoltre, se scrivi gruppi di formule insieme l'equation editor può a volte non formattarle correttamente; in tal caso ti consiglio l'uso di un programma esterno come MathType (anche in versione demo) che ti permette di editare molte formule insieme (anche in gruppi) e copiare poi il relativo codice LaTex direttamente nel post.