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salve,
ho problemi con tale serie\[\sum_{1}^{infinito}\frac{x}{n^p(1+nx^2)}\]
per x =0 la serie converge a zero
per x >0 la serie dipende da p ovviamente perchè se p >1 allora la serie sarà circa\[\sum_{1}^{infinito}\frac{x}{n^p}\]
ecco qui mi blocco e non so più come procedere.

Ciao,
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{x}{{{n^p}(1 + n{x^2})}}} \]
a parte il caso banale x=0, per $x \ne 0$ si ha
\[\frac{x}{{{n^p}(1 + n{x^2})}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^{p + 1}}x}} = \frac{1}{x}\frac{1}{{{n^{p + 1}}}}\]
ricordando la serie armonica generalizzata si avrà
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{p + 1}}}}} \left\{ \begin{array}{l}
converge\;se\;\;\;p + 1 > 1\;\;\; \to \;\;\;p > 0\\
diverge\;a\; + \infty \;se\;\;\;p + 1 \le 1\;\;\; \to \;\;\;p \le 0
\end{array} \right.\]

Saluti.