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Ciao, non riesco a studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie di funzioni:

\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\ln (n\,)}}{{{n^{2 - x}}}}} \]
[EDIT Admin] Correzione codice LaTex

In particolare ho difficoltà nell'applicare il criterio del confronto con la serie armonica generalizzata a causa della presenza di quel logaritmo. Almeno credo che questo dovrei fare.

Ciao,
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\ln (n\,)}}{{{n^{2 - x}}}}} \]
per lo studio della convergenza puntuale (fissato x) basta applicare il criterio del confronto (NON del confronto asintotico!) maggiorando i termini della serie:
\[\frac{{\ln (n\,)}}{{{n^{2 - x}}}} \le \frac{{n\,}}{{{n^{2 - x}}}} = \frac{1}{{{n^{1 - x}}}}\]
poichè sappiamo che la serie armonica generalizzata
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{1 - x}}}}} \;\;\;converge\;per\;\;\;1 - x > 1\;\;\; \to \;\;\;x < 0\]
allora anche la nostra serie converge puntualmente per x<0!

Per la convergenza uniforme basta studiare la convergenza totale (che implica poi la uniforme), trovando una serie maggiorante e convergente i cui termini maggiorano i termini della nostra serie (in valore assoluto) in un certo dominio di convergenza
\[\left| {\frac{{\ln (n\,)}}{{{n^{2 - x}}}}} \right| \le \frac{{n\,}}{{{n^{2 - x}}}} = \frac{1}{{{n^{1 - x}}}} \le \frac{1}{{{n^{1 - a}}}}\;\;(con\;a < 0\;fissato)\]
con
\[1 - x \ge 1 - a\;\;\; \to \;\;\;x \le a < 0\]
poichè la serie
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{1 - a}}}}} \;\;\;converge\;per\;a < 0\]
allora nell'insieme $x \le a < 0$ cioè per $x \in ] - \infty ,a]$ abbiamo la convergenza totale della nostra serie.

Saluti.


NB: Ti prego di abituarti a scrivere le formule correttamente con l'equation editor, facendo un pò di prove con la demo disponibile nelle istruzioni sull'uso dell'equation editor prima di postare le formule nel forum ! ... Grazie!

Buongiorno, ma non potresti passarmi un pdf con l'elenco delle disequazioni notevoli più utilizzate, del tipo quella che hai usato relativa al logaritmo e al suo argomento?

Non esiste un elenco di disequazioni notevoli !! ... le disuguaglianze vanno ragionate caso per caso in base alle conoscenze delle proprietà delle funzioni elementari coinvolte (logaritmo, seno, coseno ecc ...) !! ...

Se provi a fare una ricerca su Google "disuguaglianze notevoli" ti accorgerai che non non salta fuori nulla di quello che chiedi !! ...

Saluti.

Ma queste disuguaglianze si deducono per caso dal grafico delle funzioni elementari? Per esempio, sussiste la disuguaglianza sex x < x ... Ma se volessi ricavarla da me che considerazioni dovrei fare?

Si !! ... si deducono dai grafici e da tutte le proprietà geometriche o algebriche delle funzioni elementari !! ...

Ripeto ... non esiste un procedimento o regola universale! ... ogni funzione ha le sue caratteristiche e proprietà geometriche e algebriche che occorre conoscere perfettamente se si vogliono fare delle considerazioni sul suo comportamento rispetto a qualche altra funzione!

Altre volte bisogna ricorrere a trucchetti, artifici e giochetti vari matematici! ... è in questo che consiste la difficoltà di questi studi!

Saluti.