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Ciao, allo scritto di Analisi II mi è stato chiesto di studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie di funzioni:

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left| t-1\right| ^n}{\log \left(3 n^2+2\right)}$

Ho applicato le proprietà delle serie di potenze e ho trovato:
- convergenza puntuale in (0,2), quindi estremi dell'intervallo esclusi
- convergenza uniforme in ciascun sottointervallo chiuso e limitato [1-k,1+k] con 0<k<R=1

è corretto?

SI !! ... bravissimo! ... ecco lo svolgimento rigoroso:
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left| {x - 1} \right|}^n}}}{{\ln (3{n^2} + 2)}}} \]
Studiamo la convergenza puntuale applicando il criterio del rapporto e calcolando il raggio di convergenza
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{{{\left| {x - 1} \right|}^{n + 1}}}}{{\ln (3{{(n + 1)}^2} + 2)}}}}{{\frac{{{{\left| {x - 1} \right|}^n}}}{{\ln (3{n^2} + 2)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln (3{n^2} + 2)}}{{\ln (3{{(n + 1)}^2} + 2)}}\left| {x - 1} \right| = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln (3{n^2} + 2)}}{{\ln (3{n^2} + 6n + 5)}}\left| {x - 1} \right| \simeq \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln (3{n^2})}}{{\ln (3{n^2})}}\left| {x - 1} \right| = \left| {x - 1} \right| < 1\]
dunque il raggio di convergenza sarà R=1 e quindi per la convergenza puntuale si avrà
\[\left| {x - 1} \right| < 1\;\;\; \to \;\;\;\; - 1 < x - 1 < 1\;\;\; \to \;\;\;\;0 < x < 2\]
Studiamo ora la convergenza totale che implicherà poi la uniforme ...
con le solite maggiorazioni troviamo una serie che risulti poi convergente in un opportuno dominio
\[\left| {\frac{{{{\left| {x - 1} \right|}^n}}}{{\ln (3{n^2} + 2)}}} \right| \le \left| {\frac{{{{\left| {x - 1} \right|}^n}}}{{\ln (3{n^2})}}} \right| = \frac{{{{\left| {x - 1} \right|}^n}}}{{\ln (3{n^2})}} \le \frac{{{a^n}}}{{\ln (3{n^2})}}\]
con
\[0 < \left| {x - 1} \right| \le a\]
studiamo ora la convergenza della serie (di potenze)
\[\sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {\frac{{{a^n}}}{{\ln (3{n^2})}}} \]
e ancora con il criterio del rapporto si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{{a^{n + 1}}}}{{\ln (3{{(n + 1)}^2})}}}}{{\frac{{{a^n}}}{{\ln (3{n^2})}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln (3{n^2})}}{{\ln (3{{(n + 1)}^2})}}a = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln (3{n^2})}}{{\ln (3{n^2} + 6n + 3)}}a \simeq \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln (3{n^2})}}{{\ln (3{n^2})}}a = a\]
per la convergenza dovrà quindi essere a<1 e dunque si ha
\[0 < \left| {x - 1} \right| \le a < 1\]
da cui
\[\left| {x - 1} \right| \le a\;\;\; \to \;\;\; - a \le x - 1 \le a\;\;\; \to \;\;\;1 - a \le x \le 1 + a\;\;\]
pertanto la nostra serie converge totalmente e quindi uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato del tipo
\[\forall x \in [1 - a,1 + a]\;\;,\;\;0 < a < 1\]

Saluti.