Ciao, infatti la funzione non è derivabile in x=0 !!
\[F(x) = \int\limits_0^{se{n^2}(x)} {\frac{1}{{\sqrt {t(1 - t)} }}} \;dt\]
La funzione ha come dominio ${D_F} = R - \{ 0\}$ e provando a calcolare F(0) si ha:
\[F(0) = \int\limits_0^0 {\frac{1}{{\sqrt {t(1 - t)} }}} \;dt = \not \exists \]
perchè la funzione integranda ${\frac{1}{{\sqrt {t(1 - t)} }}}$ non è definita per t=0 e quindi non sarebbe integrabile altresì su un intervallo nullo coincidente proprio con il punto in cui non è definita!
Pertanto non essendo continua in x=0 (perchè ivi non esiste) ne segue che non potrà mai essere derivabile!
Sarà derivabile solo negli altri punti del suo dominio (cioè tutto R tranne x=0); calcolando la derivata si ha:
\[F'(x) = \frac{d}{{dx}}[\int\limits_0^{se{n^2}(x)} {\frac{1}{{\sqrt {t(1 - t)} }}} \;dt] = \frac{1}{{\sqrt {se{n^2}(x)\,(1 - se{n^2}(x))} }}\;2sen(x)\cos (x) = \]
\[ = \frac{{2sen(x)\cos (x)}}{{\sqrt {se{n^2}(x)\,{{\cos }^2}(x)} }}\; = \frac{{2sen(x)\cos (x)}}{{\left| {sen(x)\,\cos (x)} \right|}}\]
Saluti.
