Numero di zeri di una equazione con funzione integrale

[kipliko]

Salve a tutti,
sono riuscito a trovare il testo di un vecchio esame al quale però non riesco a dare una soluzione, o meglio la do ma non so se è giusta oppure completamente sbagliata.

Il testo dice: "Trovare il numero di soluzione della seguente equazione \[\int_{1}^{x}\frac{3^t}{3+t}dt = -x\] nell'intervallo (-3, 0)".
Il procedimento che ho seguito è il seguente:
1) Si consideri la funzione: \[F(x) = \int_{1}^{x}\frac{3^t}{3+t}dt -x\]
2) Ho sistemato gli estremi: \[F(x) = -\int_{0}^{1}\frac{3^t}{3+t}dt + \int_{x}^{0}\frac{3^t}{3+t}dt -x\]
3) Il primo: \[\int_{0}^{1}\frac{3^t}{3+t}dt \leqslant 3\int_{0}^{1}\frac{dt}{3+t}\] che porta a: \[Log(4)-Log(3) = Log(\frac{4}{3}) = -3Log(\frac{4}{3}) < 0\]
4) Il secondo invece converge a \[+\infty\]
Non sò come concludere, ossia il primo è minore di 0 il secondo non converge e la x varia tra 0 e -3.

Grazie mille
Saluti
Paolo

[maurizio.schirinzi]

Ciao, \[\int_1^x {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} = - x\]
innanzitutto credo che nel tuo svolgimento ci sia un errore di segno nel considerare la funzione F(x), infatti dall'equazione originale portando a primo membro -x si ha
\[\int_1^x {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} + x = 0\]
dunque la funzione da considerare di cui trovare gli eventuali zeri sarà
\[F(x) = \int_1^x {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} + x\]
il cui dominio naturale da campo di esistenza sarà
\[x > - 3\;\;\; \to \;\;\;{D_F} = ] - 3, + \infty [\]
mentre l'intervallo di osservazione richiesto dal problema è
\[I = ] - 3,0\,[\]
studiamo prima di tutto la monotonia della funzione con lo studio del segno della derivata prima
\[F'(x) = \frac{{{3^x}}}{{3 + x}} + 1 = \frac{{{3^x} + 3 + x}}{{3 + x}} > 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x > - 3\]
dunque la funzione è strettamente crescente in tutto il suo dominio naturale e dunque anche nell'intervallo assegnato ]-3,0[

a questo punto analizziamo il comportamento della funzione nell'intorno dei punti di confine dell'intervallo di osservazione ]-3,0[
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} [\int_1^x {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} + x] = \int_1^{ - 3} {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} - 3 = *\]
infatti risulta che
\[\int_1^{ - 3} {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} = - \int_{ - 3}^1 {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} = - \infty \]
essendo
\[t \to - {3^ + }:\;\;\frac{{{3^t}}}{{3 + t}} \sim \frac{{{3^{ - 3}}}}{{3 + t}} = \frac{1}{{27}}\frac{1}{{3 + t}}\]
e quindi per criteri di convergenza degli integrali notevoli
\[\int_{ - 3}^1 {\frac{1}{{3 + t}}dt} \; = + \infty \]
dunque possiamo concludere che
\[* = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} F(x) = - \infty \]
inoltre
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\int_1^x {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} + x] = \int_1^0 {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} = - \int_0^1 {\frac{{{3^t}}}{{3 + t}}dt} < 0\]
essendo infatti
\[\frac{{{3^t}}}{{3 + t}} > 0\;\;\; \to \;\;\;\forall t \in [0,1]\]
dunque possiamo concludere il problema dicendo che abbiamo una funzione F(x) che è strettamente crescente nell'intervallo richiesto ]-3,0[ e risulta negativa in prossimità di entrambi gli estremi di quell'intervallo; ne segue che F(x) non potrà avere zeri in quell'intervallo e dunque la nostra equazione non ammette soluzioni nel suddetto intervallo assegnato!

Saluti.