Correzione dello svolgimento di uno studio di funzione esponenziale

[vinx91ct]

Ciao, provo a postare per intero lo svolgimento che ho fatto io per accertarmi se: primo, è corretto e secondo, chiarire qualche dubbio qua e là nel procedimento.

Questa è la funzione: $f(x)=\frac{e^{1-x}}{3-x}$

Cominciamo.

STEP 1. INSIEME DI ESISTENZA

\[I.E.=\left \{x\in \mathbb{R}\ |\ x\neq3 \right \}=\mathbb{R}-\left \{ 3 \right \}=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)\]

STEP 2. INTERSEZIONE CON GLI ASSI

\[I.A. \rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ f(0)=(e^{1-0})/(3-0) & \end{matrix}\right.=\frac{e}{3}\approx 0,9\]

Quindi esiste un punto (che chiamerò punto A) di coordinate $A(0;0,9)$ (questo punto verrà tracciato nel grafico degli assi cartesiani)

STEP 3. STUDIO DEL SEGNO DELLA FUNZIONE (f(x)>0)

\[\frac{e^{1-x}}{3-x}>0\rightarrow \frac{N(x)>0}{D(x)>0}\rightarrow \frac{e^{1-x}>0 \rightarrow \forall x\in \mathbb{R}}{{3-x}>0\rightarrow x<3}\]

Pertanto, la funzione sarà positiva a sinistra di 3 e negativa a destra di 3 facendo attenzione al fatto che il numero 3 NON appartiene all'insieme di esistenza della funzione (quindi al dominio di f)

STEP 4. LIMITI

\[\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{e^{1-x}}{3-x}=\frac{e^{1+\infty}}{3+\infty}=\left [ \frac{\infty}{\infty} \right ]=+\infty \ (e^x \ tende \ piu' \ velocemente \ a \ +inf \ rispetto \ a \ x)\]

\[\lim_{x\rightarrow 3^-}\frac{e^{1-x}}{3-x}=\frac{e^{-2}}{0^-}=+\infty\]
\[\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{e^{1-x}}{3-x}=\frac{e^{-2}}{0^+}=-\infty\]
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{1-x}}{3-x}=\frac{e^{1-\infty}}{3-\infty}=\frac{0}{-\infty}=0\]

Grazie al calcolo dei limiti abbiamo individuato due punti di asintoto verticale. Chi sono questi punti?

\[x=3 \ A.V. (x\rightarrow 3^-\Rightarrow y=+\infty \ e \ x\rightarrow 3^+\Rightarrow y=-\infty )\]

STEP 5. CALCOLO DELLA DERIVATA PRIMA [f'(x)]

Qui c'è il mio primo dubbio. Calcolo prima la derivata e poi scrivo qual è il mio dubbio.

Sapendo che $f(x)=\frac{e^{1-x}}{3-x}$, allora la derivata prima di f(x) sarà:

\[f'(x)=\frac{\left \{ [e^{1-x}\cdot -1]\cdot(3-x) \right \}-(e^{1-x}\cdot-1)}{(3-x)^2}=\frac{e^{1-x}\cdot (-2+x)}{(3-x)^2}\]

Pongo adesso la derivata prima maggiore di zero pe conoscere gli eventuali punti di massimo e minimo relativo (o assoluto)

\[\frac{e^{1-x}\cdot (-2+x)}{(3-x)^2}>0\rightarrow \left\{\begin{matrix} (A) & e^{1-x}>0 & \rightarrow sempre \ (\forall x\in \mathbb{R})\\ (B) & (-2+x)>0 & \rightarrow x>2 \\ (C) & (3-x)^2>0 & \rightarrow -\sqrt3<x<\sqrt3 \end{matrix}\right.\]

Ecco il mio dubbio: è vero che la funzione ha un massimo relativo in $-\sqrt3$ un minimo relativo in $\sqrt3$ e poi di nuovo un massimo relativo in $2$?

STEP 6. CALCOLO DELLA DERIVATA SECONDA [f''(x)]

Sapendo che $f'(x)=\frac{e^{1-x}\cdot (-2+x)}{(3-x)^2}$, allora la derivata prima di $f'(x)$ (=derivata prima di f) sarà:

\[f''(x)=\frac{\left \{e^{1-x}\cdot (-2+x)+e^{1-x}\cdot 1 \right \}\cdot (3-x)^2-\left \{ e^{1-x}\cdot(-2+x)\right \}\cdot 2\cdot (3-x) \cdot -1}{(3-x)^4}\]

Il risultato finale sarà $f''(x)=\frac{e^{1-x}\cdot (x^2-4x+5)}{(3-x)^3}$. Pongo la derivata seconda maggiore di zero per la ricerca dei punti di flesso e della concavità e convessità della funzione. Purtroppo, però, non sono sicuro del segno della derivata.

\[\frac{e^{1-x}\cdot (x^2-4x+5)}{(3-x)^3}>0 \rightarrow \left\{\begin{matrix} (A)& e^{1-x}>0 & \rightarrow sempre \ positiva \\ (B)& (x^2-4x+5)>0 & \rightarrow sempre \ positiva\\ (C)& (3-x)^{3}>0 & \rightarrow sempre \ negativa \ (?) \end{matrix}\right.\]

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ci sono i seguenti errori:

Step 4 : piccolo errore di imprecisione nel calcolo dei limiti (sicuramente hai ricopiato male)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{{e^{1 - x}}}}{{3 - x}} = \frac{{{e^{ - 2}}}}{{{0^ + }}} = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{e^{1 - x}}}}{{3 - x}} = \frac{{{e^{ - 2}}}}{{{0^ - }}} = - \infty \]

Step 5: errore grave nello studio del segno di un "oggetto" al quadrato (sempre positivo o nullo!)
\[{(3 - x)^2} > 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \ne 3\]

Step 6: errore grave nello studio del segno di un "oggetto" al cubo (segue il segno dell'oggetto!)
\[{(3 - x)^3} > 0\;\;\; \to \;\;\;3 - x > 0\;\;\; \to \;\;\;x < 3\]


Saluti.

[vinx91ct]

Messaggio chiarificatore importantissimo

Allora con ordine. Lo step 4, sì, nessun problema (errore di trascrittura mio), niente di che.

Il fatto che sia stato corretto sullo step 5 e 6 mi porta a chiederti (visto che mi sto esercitando su questo benedetto segno): quando ho una somma di fattori elevato a n, con n pari, del tipo

\[(a\pm b)^{n_{pari}}>0 \ , \ con \ (a+b)\neq 0\] $(1)$

il risultato di quella espressione è sempre >0, perché qualsiasi numero (sia positivo sia negativo) moltiplicato per un numero pari di volte, restituisce sempre un numero positivo che sarà certamente maggiore di zero, a patto però che il termine $a$ e il termine $b$ non siano contemporaneamente zero . Giusto?

Quando, invece, abbiamo un esponente dispari, del tipo

\[(a\pm b)^{n_{dispari}}>0 \ , \ con \ (a+b)\neq 0\] $(2)$

allora occorre risolvere l'espressione all'interno delle parentesi tonde e porle maggiore di zero, ergo

\[(a\pm b)>0\]

e risolvere pertanto l'equazione data. Giusto?

Inoltre se la $(1)$ è <0, allora risulta impossibile (quindi sempre negativa), mentre se la $(2)$ è <0, bisogna comunque svolgere l'equazione associata?

Grazie ancora

[maurizio.schirinzi]

Attenzione come sempre agli studi di segno dei vari oggetti (polinomi che siano o altre cose) rispetto alle domande delle disequazioni che eventualmente si chiede di risolvere!

Occorre distinguere bene il fatto che una disequazione è una domanda alla quale bisogna rispondere studiando completamente il segno di un qualche oggetto con le sue eventuali regole universali dei segni (come per i polinomi di 1° e 2° grado) oppure ponendosi una domanda di segno a parte impostando una disequazione (di positività o negatività) a parte.

Di solito con i polinomi di 1° e 2° grado gli studio dei segni sono "secchi" dalle regole stabilite nella teoria e non c'è bisogno di impostare alcuna domanda di segno e alcuna disequazione. Si possono tracciare immediatamente da quelle regole riportando immediatamente lo schema del segno di positività, negatività e annullamento!

Inoltre in generale se abbiamo un "oggetto" elevato ad una potenza intera "pari", l'intero oggetto non sarà mai negativo ma può essere solo positivo o nullo (nullo solo se si azzera la base della potenza).
Viceversa sempre in generale se abbiamo un "oggetto" elevato ad una potenza intera "dispari" l'oggetto complessivo eredita completamente il segno della sua base.

Saluti.