Ciao,
\[f(x) = {e^{ - {x^2} + x + 1}}\]
Ecco le conclusioni dei passi fondamentali dello studio:
- Dominio: trattandosi un esponenziale con esponente un semplice polinomio di 2° grado, la funzione è sempre definita ed avrà quindi dominio tutto R
\[{D_f} = R\]
- Studio del Segno: l'esponenziale è ovviamente sempre positivo e non si annulla mai per nessun valore di x (niente intersezioni con asse x)
\[f(x) > 0\;\;\;\forall x \in R\]
- Intersezione assi: nessuna intersezione con l'asse x; l'intersezione con l'asse y avviene a quota
\[f(0) = e\]
- Asintoti: lo studio dei limiti all'infinito conferma la presenza dell'asintoto orizzontale y=0 (bilaterale)
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{ - {x^2} + x + 1}} = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^{ - {x^2} + x + 1}} = 0
\end{array} \right.\]
- Monotonia e Max/Min: il calcolo e lo studio del segno della derivata prima fornisce le seguenti informazioni di crescenza/decrescenza (monotonia) e relativi max/min
\[f'(x) = {e^{ - {x^2} + x + 1}}( - 2x + 1)\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{1}{2}\;\;\; \to \;\;\;f\;crescente\\
x = \frac{1}{2}\;\;\; \to \;\;\;\max \\
x > \frac{1}{2}\;\;\; \to \;\;\;f\;decrescente
\end{array} \right.\]
- Curvature: il calcolo e lo studio del segno della derivata seconda fornisce le informazioni di concavità/convessità e flessi
\[f''(x) = {e^{ - {x^2} + x + 1}}{( - 2x + 1)^2} + {e^{ - {x^2} + x + 1}}( - 2) = {e^{ - {x^2} + x + 1}}[{( - 2x + 1)^2} - 2] = \]
\[ = {e^{ - {x^2} + x + 1}}[4{x^2} - 4x - 1]\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} \vee x > \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\;\;\; \to \;\;\;f\;convessa\\
\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} < x < \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\;\;\; \to \;\;\;f\;concava\\
x = \frac{{1 \pm \sqrt 2 }}{2}\;\; \to \;\;\;flessi
\end{array} \right.\]
In allegato il grafico finale.
Saluti.
da Giulisba » 23/07/2014, 18:07 
