Ciao, \[f(x) = (x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}}\]
di seguito i passaggi fondamentali:
-Dominio e studio delle singolarità
\[{D_f} = R - \{ 1\} \]
\[\left\{ \begin{array}{l}
f(1) = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = 2\,{e^{\frac{1}{{{0^ + }}}}} = 2\,{e^{ + \infty }} = + \infty \;\;\;(A.V.)\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = 2\,{e^{\frac{1}{{{0^ - }}}}} = 2\,{e^{ - \infty }} = 0
\end{array} \right.\]
- Studio del segno e intersezione con gli assi
\[\left[ \begin{array}{l}
f(x) > 0\;\;\; \to \;\;\;x + 1 > 0\;\;\; \to \;\;\;x > - 1\\
f(x) < 0\;\;\; \to \;\;\;x + 1 < 0\;\;\; \to \;\;\;x < - 1\\
f(x) = 0\;\;\; \to \;\;\;x + 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;x = - 1
\end{array} \right.\]
\[f(0) = e\]
- Asintoti orizzontali ed obliqui
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = + \infty \cdot {e^{\frac{1}{{ - \infty }}}} = + \infty \cdot {e^0} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = - \infty \cdot {e^{\frac{1}{{ + \infty }}}} = - \infty \cdot {e^0} = - \infty
\end{array} \right.\]
\[m = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(x + 1)}}{x}\, \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = 1 \cdot {e^0} = 1\]
\[q = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,[f(x) - mx] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,[(x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - x] = \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,[(x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - x] = [ + \infty - \infty ]\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,[(x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - x] = [ - \infty + \infty ]
\end{array} \right.\]
\[q = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,[(x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,[x{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} + \,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,[x({e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - 1) + \,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,x({e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - 1) + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,x(\frac{{{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - 1}}{{\frac{1}{{1 - x}}}})\frac{1}{{1 - x}} + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{e^{\frac{1}{{1 - x}}}} - 1}}{{\frac{1}{{1 - x}}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x}{{1 - x}} + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{\frac{1}{{1 - x}}}} = (1) \cdot ( - 1) + {e^0} = - 1 + 1 = 0\]
\[y = mx + q\;\;\; \to \;\;\;y = x\;\;(A.\,Ob.)\]
- Studio della derivata prima (crescenza/decrescenza/max/min)
\[f'(x) = 1 \cdot {e^{\frac{1}{{1 - x}}}} + (x + 1)\,{e^{\frac{1}{{1 - x}}}}( - \frac{{ - 1}}{{{{(1 - x)}^2}}}) = {e^{\frac{1}{{1 - x}}}}\,[1 + \frac{{x + 1}}{{{{(1 - x)}^2}}}] = \]
\[ = {e^{\frac{1}{{1 - x}}}}\,[\frac{{{{(1 - x)}^2} + x + 1}}{{{{(1 - x)}^2}}}] = {e^{\frac{1}{{1 - x}}}}\,[\frac{{1 - 2x + {x^2} + x + 1}}{{{{(1 - x)}^2}}}] = {e^{\frac{1}{{1 - x}}}}\,\frac{{{x^2} - x + 2}}{{{{(1 - x)}^2}}}\]
studiando quindi il segno della derivata prima risulta quindi che la funzione è strettamente crescente in tutto il dominio
\[f'(x) = {e^{\frac{1}{{1 - x}}}}\,\frac{{{x^2} - x + 2}}{{{{(1 - x)}^2}}} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in {D_f}\]
- Studio curvature (concavità/convessità/flessi) : lascio a te il calcolo della derivata seconda e l'eventuale fattibilità dello studio del segno!
- Grafico della funzione (in allegato)
Saluti.
