Ciao, prima di tutto ti prego di postare sempre i problemi o dubbi che hai riscontrato nello studio della funzione e la traccia del tuo procedimento relativo al problema. Il forum fornisce supporto ai dubbi ma non è un "risolutore" di esercizi postati, altrimenti verrebbe meno lo scopo stesso del Forum!
Ecco comunque i passi fondamentali dello studio della tua funzione:
\[f(x) = {(1 + \frac{1}{x})^x}\]
Si tratta di una funzione esponenziale a base variabile e in particolare la classica funzione esponenziale neperiana!
- Dominio
\[C.E.\;\left\{ \begin{array}{l}
1 + \frac{1}{x} > 0\;\;\; \to \;\;\;\frac{{x + 1}}{x} > 0\\
x \ne 0
\end{array} \right.\]
\[{D_f} = ] - \infty , - 1\,[ \cup ]\,0, + \infty \,[\]
- Studio dei punti singolari
\[{x_0} = 0\;\;\left\{ \begin{array}{l}
f(0) = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(1 + \frac{1}{x})^x} = [{\infty ^0}]\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {(1 + \frac{1}{x})^x} = \not \exists
\end{array} \right.\]
risolviamo il limite con la tecnica di sostituzione e l'uso dei limiti notevoli; ponendo
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{x} = t\;\;\; \Rightarrow \;\;\;x = \frac{1}{t}\\
x \to {0^ + }\;\;\; \Rightarrow \;\;\;t \to + \infty
\end{array}\]
abbiamo
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(1 + \frac{1}{x})^x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {(1 + t)^{\frac{1}{t}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {e^{\ln ({{(1 + t)}^{\frac{1}{t}}})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {e^{\frac{1}{t}\ln (1 + t)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {e^{\frac{{\ln (1 + t)}}{t}}} = {e^{{{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } }^{\frac{{\ln (1 + t)}}{t}}}}} = *\]
svolgendo a parte per comodità il limite sull'esponente dell'esponenziale abbiamo
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln (1 + t)}}{t} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln (t(\frac{1}{t} + 1))}}{t} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln (t) + \ln (\frac{1}{t} + 1)}}{t} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln (t)}}{t} + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln (\frac{1}{t} + 1)}}{t} = 0 + \frac{0}{{ + \infty }} = 0\]
da cui ritornando al limite iniziale
\[* = {e^{{{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } }^{\frac{{\ln (1 + t)}}{t}}}}} = {e^0} = 1\]
analogamente per l'altro punto singolare abbiamo
\[{x_0} = - 1\;\;\left\{ \begin{array}{l}
f( - 1) = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} {(1 + \frac{1}{x})^x} = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {(1 + \frac{1}{x})^x} = {({0^ + })^{ - 1}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty \;\;(As.\;V.)
\end{array} \right.\]
- Studio del segno: essendo la funzione un esponenziale sarà sempre positivo nel suo dominio
\[f(x) > 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in {D_f}\]
- Asintoti orizzontali
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{1}{x})^x} = e\;\;{\rm{(limite}}\;{\rm{notevole}}\;{\rm{di}}\;{\rm{Nepero!)}}\]
\[{\rm{Asintoto}}\;{\rm{Orizzontale}}\;{\rm{:}}\;y = e\]
- Derivata
per poter derivare una funzione esponenziale a base variabile è necessario prima trasformarla in esponenziale a base fissa e applicare le regole di derivazione della funzione composta:
\[f(x) = {(1 + \frac{1}{x})^x} = {e^{\ln {{(1 + \frac{1}{x})}^x}}} = {e^{x\ln (1 + \frac{1}{x})}}\]
\[f'(x) = {e^{x\ln (1 + \frac{1}{x})}}\;[\ln (1 + \frac{1}{x}) + x\frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}( - \frac{1}{{{x^2}}})] = \]
\[ = {(1 + \frac{1}{x})^x}\;[\ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{{\frac{{x + 1}}{x}}}\frac{1}{x}] = \]
\[ = {(1 + \frac{1}{x})^x}\;[\ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{{x + 1}}] \ge 0\]
la cui espressione matematica non è tale da consentirci uno studio di segno con le normali tecniche algebriche (la x è sia dentro che fuori dal logaritmo!); pur essendo il primo fattore sempre positivo, per studiare il segno del secondo fattore si rende necessario affrontare il classico studio con approccio di tipo grafico che lascio a te.
- Grafico (in allegato)
Saluti.
Inviato: 05/06/2016, 22:13