Ciao,
\[f(x) = \frac{1}{{x\ln (x)}}\]
- Dominio
\[{D_f} = ]\,0,1\,[ \cup ]\,1, + \infty \,[\]
- Analisi punti singolari
\[\begin{array}{l}
f(0) = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{x\ln (x)}} = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{x\ln (x)}}\mathop = \limits^{t = \frac{1}{x}} \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{1}{{\frac{1}{t}\ln (\frac{1}{t})}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{t}{{ - \ln (t)}} = - \infty \;(As.\;V.)
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
f(1) = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x\ln (x)}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty \;(As.\;V.)\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x\ln (x)}} = \frac{1}{{{0^ - }}} = - \infty \;(As.\;V.)
\end{array}\]
- Studio del Segno
\[\left\{ \begin{array}{l}
f(x) > 0\;\;\; \to \;\;\;x > 1\\
f(x) = 0\;\;\; \to \;\;\;x = 1\\
f(x) < 0\;\;\; \to \;\;\;0 < x < 1
\end{array} \right.\]
- Asintoti Orizzontali
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x\ln (x)}} = \frac{1}{{ + \infty }} = 0\;\;\;(As.\;Orizz.\;y = 0)\]
- Studio Derivata Prima
\[f'(x) = - \frac{{1 \cdot \ln (x) + x\frac{1}{x}}}{{{x^2}{{\ln }^2}(x)}} = - \frac{{\ln (x) + 1}}{{{x^2}{{\ln }^2}(x)}}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
f'(x) > 0\;\;\; \to \;\;\;0 < x < \frac{1}{e}\\
f'(x) = 0\;\;\; \to \;\;\;x = \frac{1}{e}\\
f'(x) < 0\;\;\; \to \;\;\;x > \frac{1}{e} \wedge x \ne 1
\end{array} \right.\]
\[{x_0} = \frac{1}{e}\;\;\;punto\;di\max \;relativo\]
- Grafico in allegato
Saluti.
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