Ciao, \[f(x) = \ln (\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}})\]
riportando solo i passi e le conclusioni fondamentali si ha:
- Dominio
\[C.E.\;\;\left\{ {\left. \begin{array}{l}
\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}} > 0\\
{e^x} - 1 \ne 0
\end{array} \right\}} \right.\;\; \to \;\;{D_f} = ]0, + \infty [\]
- Limiti ai confini del dominio
\[{x_0} = 0\;\;\left\{ \begin{array}{l}
f(0) = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \ln (\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}) = \not \exists \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (\frac{2}{{{0^ + }}}) = \ln ( + \infty ) = + \infty \;\;(A.V.)
\end{array} \right.\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln (\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln (\frac{{{e^x}(1 + \frac{1}{{{e^x}}})}}{{{e^x}(1 - \frac{1}{{{e^x}}})}}) = \ln (\frac{{1 + 0}}{{1 - 0}}) = \ln (1) = 0\;\;(A.O.)\]
- Studio del segno
\[\ln (\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}) \ge 0\;\; \to \;\;\ln (\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}) \ge \ln (1)\;\; \to \;\;\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}} \ge 1\;\; \to \]
\[ \to \;\;\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}} - 1 \ge 0\;\; \to \;\;\frac{2}{{{e^x} - 1}} \ge 0\;\; \to \;\;\forall x \in {D_f}\]
- Derivata prima (crescenza/decrescenza/max/min)
\[f'(x) = \frac{1}{{\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}}}[\frac{{{e^x}({e^x} - 1) - ({e^x} + 1){e^x}}}{{{{({e^x} - 1)}^2}}} = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}[\frac{{{e^x} - 1 - {e^x} - 1}}{{{e^x} - 1}}] = \]
\[ = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}[\frac{{ - 2}}{{{e^x} - 1}}] = \frac{{ - 2{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}} < 0\;\;\forall x \in {D_f}\;\;(f.\;strett.\;dec.)\]
- Derivata seconda (curvature/concavità/convessità/flessi)
\[f''(x) = - 2[\frac{{{e^x}({e^{2x}} - 1) - {e^x}{e^{2x}}2}}{{{{({e^{2x}} - 1)}^2}}}] = - 2{e^x}[\frac{{{e^{2x}} - 1 - 2{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} - 1)}^2}}}] = \]
\[ = 2{e^x}[\frac{{1 + {e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} - 1)}^2}}}] = \frac{{2{e^x}({e^{2x}} + 1)}}{{{{({e^{2x}} - 1)}^2}}} > 0\;\; \to \;\;\forall x \in {D_f}\;\;(f.\;convessa)\]
- Grafico della funzione in allegato
Saluti.
